6. 4. Довжина дуги кривої

Нехай у прямокутних координатах на площині рівняння деякої кривої має вигляд . Знайдемо довжину дуги, розташованої між прямими

і . Візьмемо на дузіточки з абсцисамиі побудуємо хорди,довжини

25

яких позначимо відповідно через Одержимо ламану лінію

вписану у дугу (рис. 6.5). Довжина ламаної дорівнює

M_i B

Рис. 6.5

Довжиною дуги називається границя , до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої ланки прямує до нуля:

Доведемо, що якщо на відрізку функція та її похідна

неперервні, то ця границя існує. Введемо позначення: Тоді, за теоремою Піфагора, За теоремою Лагранжа (теорема про середнє) маємо:, де.

Отже, .

Таким чином, довжина вписаної ламаної дорівнює .

26

_{За умовою, неперервна , отже, функціятакож неперервна. Тому існує границя інтегральної сумиsn , яка дорівнює означеному інтегралу:}

Отже, формула для обчислення довжини дуги має вигляд:

(6.2)

_{Приклад 23}. Визначити довжину кола

Спочатку обчислимо довжину чверті кола, розташованої у першому квадранті. Рівняння дуги буде Отже,

_{Довжина усього кола}

_{Якщо крива задана у параметричній формі: , де функціїта їх похідні неперервні, причомуне дорівнює нулю на.}

У такому випадку . Нехай. Тоді, виконавши у інтегралі (6.2) підстановку, одержимо

.

Приклад 24. Обчислити довжину астроїди

Оскільки крива симетрична відносно обох координатних осей, обчислимо довжину її чверті, розташованої у першому квадранті (рис. 6. 6).

27

Рис. 6.6 Параметр t буде змінюватися від 0 до Таким чином,

6. 5. Довжина дуги у полярних координатах

_{Нехай у полярних координатах задано рівняння кривої ,} де - полярний радіус,- полярний кут. Формули переходу від полярних координат до декартових:або, замінюючи на , одержимоЦі рівняння можна розглядати як параметричні рівняння кривої, тому доцільно використати для обчислення довжини дуги формулу, одержану для цього випадку. Знайдемо похідні від тапо параметру.

Тоді Отже,

28

Приклад 24. Знайти довжину кардіоїди .

Рис. 6.7

_{Змінюючи} полярний кут _{від 0 до, одержимо половину шуканої довжини. Маємо:Таким чином,}

6.6. Обчислення об’ємів тіл за поперечними перетинами

_{Нехай маємо деяке тіло Т. Припустимо, що відома площа будь-якого поперечного перетину тіла площиною , що перпендикулярна осі Ох. Ця площа буде залежна від розташування січної площини, тобто буде функцією від х: .}

_{Припустимо, що - неперервна функція відх. Визначимо об'єм даного тіла. Проведемо n площин Ці площини розіб’ють тіло на шари. У кожному з проміжків оберемо довільну точкуі для кожного значенняпобудуємо циліндрове тіло, твірна якого паралельна доосі Ох, а напрямна представляє собою контур перетину тіла Т площиною Об'єм такого елементарного циліндра з площею основи та висотоюдорівнює. Об'єм всіх циліндрів буде}

₂₉

_{Границя цієї суми при (якщо вона існує) називається об’ємом даного тілаОскільки представляє собою інтегральну суму для неперервної функції на відрізкуто ця границя існує і є визначений інтеграл:}

(6.3)

Приклад 25. Обчислити об'єм тривісного еліпсоїда (рис. 6.8)

_{Рис. 6.8}

У перетину еліпсоїда площиною, що паралельна площині Oyz і віддалена від неї на відстань x,одержимо еліпс

де ,-піввіси еліпса. Але площа такого еліпса дорівнює тому. Об'ємеліпсоїда буде дорівнювати

30

До речі, коли еліпсоїд перетворюється на кулю і у цьому випадку