5.2. Інтеграли від розривних функцій

Нехай функція визначена і неперервна при, а привона або не визначена, або має розрив. У цьому випадку не можна казати про інтеграляк границю інтегральних сум, оскількине є неперервною на відрізку, і ця границя може не існувати. Інтегралвід функції, що має розрив у точці, визначається наступним чином:=.

Якщо остання границя існує, то інтеграл називається збіжним інтегралом, у протилежному випадку – розбіжним.

Якщо функція розривна на лівому кінці відрізка(тобто при), то за визначенням =.

Якщо функція має розрив у деякій точці , де, то покладають:. Якщо обидва інтеграла

у правій частині останньої рівності існують, то існує (збігається) інтеграл 18

Приклад 17 . Обчислити .

За визначенням .

Приклад 18 . Обчислити або встановити його розбіжність. Очевидно, що припідінтегральна функція має нескінченний розрив. Тому даний інтеграл треба представити у вигляді суми двох інтегралів:

. Кожний з інтегралів татреба шукати окремо:. Аналогічно встановлюється розбіжність інтеграла. Але в цьому немає необхідності, тому що для збіжності інтеграла треба, щоб збігались обидва інтегралита. Тому незалежно від поведінкиданий інтеграл розбігається. Зауважимо, що якщо би ми обчислювали інтеграл, не звернувши уваги на розрив підінтегральної функції при, то одержали б помилковий результат. Дійсно,=, що неможливо (див. рис.5.4). Таким чином, неодмінно звертайте увагу на поведінку підінтегральної функції на відрізку інтегрування!

Рис. 5.4

19

Зауваження. Якщо функція , визначена на відрізку, має в середині цього відрізка кінцеву кількість точок розриву, то інтеграл від функціїна відрізкувизначається у вигляді суми

,

якщо кожний з невластивих інтегралів у правій частині збігається. Якщо принаймні один з них розбігається, то називається розбіжним.

Для встановлення збіжності невластивих інтегралів від розривних функцій та оцінки їх значення можуть бути використані теореми, аналогічні теоремам для оцінки інтегралів з нескінченними границями.

Теорема 1*. Якщо на відрізку функціїтарозривні у точціс, причому, у всіх точках цього відрізка виконані нерівності і збігається інтеграл, тоді інтегралтакож збігається.

Теорема 2*. Якщо на відрізку функціїтарозривні у точціс, причому у всіх точках цього відрізка виконані нерівності і розбігається інтеграл, тоді інтегралтакож розбігається.

Теорема 3*. Якщо на відрізку знакозмінна функціямає розрив лише у точціс і невласний інтеграл від абсолютної величини цієї функції збігається, то інтеграл також збігається.

У якості функції, із якою порівнюють підінтегральну функцію, часто обирають . Легко перевірити, щозбігається при, розбігається при.

20

Те ж саме справедливо для інтегралів вигляду .

Приклад 19 . Чи збігається ?

Підінтегральна функція має розрив при х = 0. Порівнюючи її із функцією ,маємоНевласний інтеграл існує. Отже, невластивій інтеграл від «меншої» функції, тобто також існує.