1.1. Сокращенная запись двоичных чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

В основном восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются для сокращенного представления длинных двоичных чисел. Рассмотрим приведенное ниже двоичное число, состоящее из 12 двоичных цифр, и его эквиваленты в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Двоичное число	Восьмеричный эквивалент числа	Шестнадцатеричный эквивалент числа
100011010001	4321	8D1

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить двоичное число из 12 цифр на группы из трех последовательных разрядов каждая и записать под этими группами соответствующие им восьмеричные цифры следующим образом:

100 011 010 001

4 3 2 1

Для преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное необходимо разбить двоичное число из 12 цифр на группы по четыре последовательных разрядов каждая и записать под этими группами соответствующие им шестнадцатеричные цифры следующим образом:

1000 1101 0001

8 D 1

1.2. Преобразование восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные

Процесс преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное может использоваться в об­ратной последовательности для преобразования восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичное.

Например, восьмеричное число 653 преобразовывается в двоичное число следую­щим образом: цифра 6 заменяется ее двоичным эквивалентом из 3 цифр 110, цифра 5 заменяется ее двоичным эквивалентом из 3 цифр 101 и цифра 3 заменяется ее двоичным эквивалентом 011; в итоге получается двоичное число 110101011 из 9 цифр.

Шестнадцатеричное число FAD5 преобразовывается в двоичное заменой цифры F на ее двоичный эквивалент из 4 цифр 1111, цифры А – на ее двоичный эквивалент 1010, цифры D – на ее двоичный эквивалент 1101 из 4 цифр и 5 – на ее двоичный эквивалент из 4 цифр 0101. В итоге получается двоичное число из 16 цифр 1111101011010101.

1.3. Преобразование двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичные

Для того чтобы преобразовать к десятичному виду число, записанное в другой системе счисления, умножьте десятичный эквивалент каждой цифры числа на соответствующее позиционное значение и просуммируйте полученные величины. Например, двоичное число 110101 преобразовывается в десятичное число 53 следующим образом:

Для преобразования восьмеричного числа 7614 в десятичное число 3980 используют ту же самую методику, применяя соответствующие значения позиций вось­меричной системы счисления:

Преобразование шестнадцатеричного числа AD3B в десятичное 44347 выполня­ется тем же самым способом с использованием соответствующих позиционных зна­чений шестнадцатеричной системы счисления:

1.4. Преобразование десятичных чисел в двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные

Преобразование десятичных чисел к двоичному, восьмеричному или шестнадцатеричному представлению выполняется в соответствии с правилами записи числа в позиционной системе счисления.

Предположим, что мы хотим преобразовать десятичное число 57 в двоичное. Начнем с того, что выпишем значения позиций двоичной системы в колонки, справа налево, пока не дойдем до позиционного значения, превосходящего наше десятичное число. Эта позиция нам не нужна и мы отбрасываем этот столбец. Таким образом, сначала запишем:

Позиционные значения: 64 32 16 8 4 2 1

Затем отбрасываем столбец с позиционным значением 64:

Позиционные значения: 32 16 8 4 2 1

После этого начинается процесс обработки столбцов, с крайнего левого столбца и далее, до крайнего правого. Делим 57 на 32, получаем 1 и остаток 25; записываем 1 в столбце 32. Далее, делим остаток 25 на 16, получаем 1 и 9 в остатке; запи­сываем 1 в столбце 16. Затем, делим 9 на 8, получаем 1 и 1 в остатке. Для следующих двух столбцов частное от деления остатка равного 1 на их позиционные значения равны 0, так что в эти столбцы записываем нули. Для крайней правой позиции число 1, деленное на 1, дает 1 и мы записываем 1 в столбец единиц. В результате получаем:

Порционные значения: 32 16 8 4 2 1

Значения цифр 1 1 1 0 0 1

и, таким образом, десятичному числу 57 будет соответствовать двоичное число 111001.

Для преобразования десятичного числа 103 в восьмеричное начнем с того, что последовательно выпишем позиционные значения восьмеричной системы в столбцы, пока не дойдем до значения позиции, превосходящей наше десятичное число. Этот столбец нам не нужен и мы его отбросим. Таким образам, сначала запишем:

Позиционные значения: 512 64 8 1

Затем отбрасываем столбец с позиционным значением 512 и получаем:

Позиционные значения: 64 8 1

После этого начинаем обработку с крайнего левого столбца и далее до крайнего правого. Делим 103 на 64, получаем 1, остаток 39 и записываем 1 в столбце 64.

Далее, делим 39 на 8, получаем 4 и 7 в остатке и записываем 4 в столбце восьмерок. И, наконец, делим 7 на 1, получаем 7 и 0 в остатке и записываем 7 в столбце единиц. В результате получаем:

Позиционные значения: 64 8 1

Значения цифр: 1 4 7

Таким образом, десятичному числу 103 соответствует восьмеричное число 147.

Для преобразования десятичного числа 375 в шестнадцатеричное начнем с того, что выпишем значения позиции шестнадцатеричной системы в столбцы, пока не дойдем до позиционного значения, превосходящего наше десятичное число. Этот столбец нам не нужен и мы его отбросим. Таким образом, сначала запишем:

Позиционные значения: 4096 256 16 1

Затем отбрасываем столбец с позиционным значением 4096 и получаем:

Позиционные значения: 256 16 1

После этого начинаем обработку столбцов с крайнего левого столбца и далее до крайнего правого. Делим 375 на 256, получаем 1, остаток 119 и записываем 1 в столбце 256. Далее, делим 119 на 16, получаем 7 и 7 в остатке и записываем 7 в столбце 16. И, наконец, делим 7 на 1, получаем 7 и 0 в остатке и записываем 7 в столбце единиц. В результате получаем:

Позиционные значения: 256 16 1

Значения цифр: 1 7 7

Таким образом, десятичному числу 375 соответствует шестнадцатеричное число 177.