Практическое занятие №1



С



истемы счисления

Цели:

• усвоить основные понятия систем счисления,

• понять методику работы с числами, представленными в различных системах счисления (двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной),

• научиться записывать двоичные числа в виде восьмеричных и шестнадцатеричных чисел,

• научиться преобразовывать восьмеричные и шестнадцатеричные числа к двоичному виду,

• научиться выполнять прямое и обратное преобразование десятичных чисел и их двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных эквивалентов.

1. Краткие теоретические сведения

Для работы над проектами программного обеспечения (ППО), активно взаимодействующего с аппаратными средствами на «машинном уровне», необходимо знание основных систем представления чисел. Такие ППО включают в себя: операционные системы, программное обеспечение работы в сети, компиляторы, системы управления базами данных и прикладные программы, от которых требуется высокая эффективность работы.

Когда в программе на С++ мы используем целое число типа 227 или -63, то предполагаем, что оно записано в десятичной системе счисления (с основанием 10). Цифрами в десятичной системе счисления являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9. Самая младшая цифра - 0, а самая старшая цифра - 9; она на единицу меньше, чем 10, являющееся основанием системы счисления. Для внутреннего представления данных в компьютере используется двоичная система счисления (с основанием 2). Двоичная система счисления обходится только двумя цифрами, а именно, 0 и 1. Самая младшая цифра - 0, а самая старшая цифра - 1, она на единицу меньше основания системы счисления 2.

Двоичные числа намного длиннее их десятичных эквива­лентов. Программистам, пишущим на ассемблере или на языках высокого уровня, которые, подобно С++, дают возможность работать и на «машинном уровне», неудобно использовать двоичные числа. Они предпочитают две другие системы счисления: восьмеричную систему счисления (с основанием 8) и шестнадцатеричную систему счисления (с основанием 16), завоевавшие себе популярность, прежде всего возможностью сокращенной записи двоичного числа.

В восьмеричной системе счисления используются цифры от 0 до 7. Поскольку и в двоичной системе счисления, и в восьмеричной системе применяется меньшее количество цифр, чем в десятичной системе счисления, то в качестве цифр в этих системам просто используются соответствующие цифры десятичной системы.

В шестнадцатеричной системе счисления возникает проблема, связанная с тем, что для записи чисел требуется уже шестнадцать цифр: самая младшая цифра - 0, и самая старшая цифра должна иметь десятичное значение 15 (на единицу меньшее, чем основание системы 16). В соответствии с принятым соглашением, для представления шестнадцатеричных цифр, соответствующих десятичным значениям от 10 до 15, используются символы от A до F. Таким образом, в шестнадцатеричной записи мы можем встретить числа типа 876, состоящие исключительно из цифр десятичной системы счисления, и числа типа 8A55F, состоящие из цифр и букв, и числа вида FEE, состоящих исключительно из букв. Иногда попадаются шестнадцатеричные числа типа FACE или FEED, имеющие второй смысл (в переводе ЛИЦО и ПИЩА), что кажется странным для некоторых программистов, привыкших работать с десятичными числами.

Каждая из перечисленных систем счисления использует позиционную запись, когда каждая позиция, в которой записывается цифра, имеет свое позиционное значение. Например, про десятичное число 937 мы говорим, что цифра 7 записана в позиции единиц, цифра 3 записана в позиции десятков и 9 – в позиции сотен (цифры 9, 3 и 7, при этом, называются числовыми значениями). Обратите внимание, что значения этих позиций равны основанию системы счисления (в данном случае – 10), возведенному в степень, начинающуюся с нулевой и увеличивающуюся на 1 при перемещении в числе на одну позицию влево.

Значения позиций в десятичной системе счисления
Десятичная цифра	9	3	7
Название позиции	Сотни	Десятки	Единицы
Позиционное значение	100	10	1
Значение позиции как степень основания (10)	102	101	100

Для более длинных десятичных чисел, чем те, что мы взяли в качестве примера, следующими позициями слева будут позиции: тысяч (10 в степени 3), десятков тысяч (10 в степени 4), сотен тысяч (10 в степени 5), миллионов (10 в степени 6), десятков миллионов (10 в степени 7) и так далее.

Про двоичное число 101 мы говорим, что его самая правая единица записана в позиции единиц, 0 записан в позиции двоек, а самая левая единица находится в позиции четверок. Обратите внимание, что каждая из этих позиций имеет значение, равное степени основания системы счисления (в данном случае 2), и что значение степени начинается со значения 0 и увеличивается на 1 при перемещении в числе на одну позицию влево.

Значения позиций в двоичной системе счисления
Двоичная цифра	1	0	1
Название позиции	Четверки	Двойки	Единицы
Позиционное значение	4	2	1
Значение позиции как степень основания (2)	22	21	20

Для более длинных двоичных чисел следующими позициями слева будут позиция восьми (2 в степени 3), позиция шестнадцати (2 в степени 4), позиция тридцати двух: (2 в степени 5), позиция шестидесяти четырех (2 в степени 6) и так далее.

В восьмеричном числе 425 цифра 5 записана в позиции единиц, цифра 2 записана в позиции восьми и 4 – в позиции шестидесяти четырех. Заметьте, что значение каждой из этих позиций равно степени основания системы счисления (в этом случае равной 8) и что показатель степени изменяется от 0, увеличиваясь на 1 при пере­движении в числе на одну позицию влево.

Значения позиций в восьмеричной системе счисления
Двоичная цифра	4	2	5
Назвать позиции	Шестьдесят четыре	Восьмерки	Единицы
Позиционное значение	64	8	1
Значение позиции как степень основания (8)	82	81	80

Для больших по величине восьмеричных чисел, следующие позиции слева будут позиции пятисот двенадцати (8 в степени 3), четырех тысяч девяноста шести (8 в степени 4), тридцати двух тысяч семисот шестидесяти восьми (8 в степени 5) и так далее.

В шестнадцатеричном числе 3DA цифра А записана в позиции единиц, цифра D записана в позиции шестнадцати и 3 – в позиции двухсот пятидесяти шести. Значение каждой из этих позиций равно основанию системы счисления (в данном случае 16), возведенному в степень, показатель которой при продвижении в числе на одну позицию влево увеличивается на 1, а начинается со значения 0.

Значения позиций в шестнадцатеричной системе счисления
Двоичная цифра	3	D	А
Название позиции	Двести пятьдесят шесть	Шестнадцать	Единицы
Позиционное значение	256	16	1
Значение позиции как степень основания (16)	162	161	160

Для шестнадцатеричных чисел большей длины следующими левыми позициями будут позиции четырех тысяч девяноста шести (16 в степени 3), тридцати двух тысяч семисот шестидесяти восьми (16 в степени 4) и так далее.