В даній лабораторній роботі потрібно притримуватись першого шляху, так як він дозволяє застосовувати класичні методи аналізу без додаткового ускладнення алгоритмів і програм.
2.3 Обчислення характеристик емпіричних розподілів.
Основними характеристиками любого розподілу випадкової виличини є моменти. Існує три види моментів ряду розподілу.
1. Початкові моменти представляють собою суму відхилень середніх значень розділів гістограми від деякої довільної точки X a , взятої в n-ій степені і помноженій на відповідну частковість.
Тоді початкові моменти з врахуванням центрів
розрядів X j можна визначити із співвідношення:
1 |
k |
|
- Xa )h * l j . |
|
mh = −∑(X j |
(5) |
|||
n |
j=1 |
|
||
Якщо Xa = 0, то для виборки об'ємом n:
1 |
k |
|
|
|
|
|
|||
mh = −∑Xhj * l j , |
(6) |
|||
n |
j=1 |
|
||
а у випадку h=1 ми одержимо середне значення:
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
m1 |
= |
X |
= −∑ |
X j |
* l j . |
(7) |
|
|
|
|
n |
j=1 |
|
||
2. Центральні моменти, які відмінні від початкових тільки
обов'язковою рівністю Xa = X , тобто
7
1 |
k |
|
|
|
|
|
μh = −∑(X j |
- X)h * l j |
(8) |
||||
n |
j=1 |
|
||||
1-й центральний момент μ1 називається математичним
сподіванням і є вибірковим середнім значенням для даних спостережень.
2-й центральний момент μ2 називається дисперсією розподілу і показує відхилення кожного спостереження від
|
|
|
1 |
k |
|
2 |
|
середнього значення μ2 |
=S2 |
= |
∑(X j - |
X) . |
|||
|
|||||||
|
|
|
n j=1 |
|
|
||
Звідси можна розрахувати середньоквадратичне відхилення σ = 
μ2 .
3. Основні моменти представляють собою відношення центральних моментів до середньоквадратичного відхилення у відповідній степені:
μ |
|
|
τh = σhh |
, |
(9) |
μ |
|
;τ4 |
μ |
|
|
а саме τ0 = 1; τ1 = 0;τ3 = σ |
33 |
= σ |
44 |
і т.д. |
Третій основний момент служить мірою косості
(асиметрії) кривої розподілу відносно центра. Коефіцієнт асиметрії може бути додатним, відємним, або рівним нулю. В останьому випадку говорять, що крива росподілу є симетричною.
Четвертий основний момент служить мірою крутості
(ексцесом) вибіркового розподілу відносно кривої нормального розподілу і може приймати значення в межах від мінус двох до безмежності.
8
Емпіричні характеристики розподілів визначаються безпосередньо в процесі рішення задач при обробці результатів спостережень і побудові регресійних моделей.
Крім наведених характеристик, на практиці ще використовують ряд інших:
Медіаною випадкової величини X називається таке її значення Мех , яке знаходиться на середині впорядкованого ряду. Таким чином, медіана – це таке значення досліджуваного параметра, яке ділить впорядкований ряд вибірки на дві рівні за об’ємом групи.
Якщо у впорядкованому ряді виборки (2і+1) експериментів, то значення (і+1)-го експеримента буде медіанним. Якщо в ряді парне число експериментів (2і), то медіана рівна середньому арифметичному від цих двох значень.
xi+1 |
,для непарного |
n |
|
||
Me = xi + xi+1 |
,для парного |
n |
( ) |
||
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Модою випадкової величини Х називається те значення параметра Mox , яке найбільш часто зустрічається в даному ряді вибірки. Для дискретного ряда мода визначається по частотах значень параметра і відповідає значенню параметра з найбільшою частотою.
Мірою лінійного звязку між двома випадковими величинами x1 та x2 являється звичайний коефіцієнт кореляції:
2.4Перевірка гіпотези нормальності розподілу.
При оцінці результатів вимірювань важливим моментом обробки даних є перевірка гіпотези про те, що розподіл контрольованої випадкової величини Y наближається до теоретичної кривої нормального розподілу. Далі ця гіпотеза
9
перевіряється з допомогою обчислення вирівнюючих частот вибраного розподілу і одного з критеріїв узгодження.
Якщо X = {Xij},i = 1, n;1, m є матрицею m факторів з n значеннями вибірки кожного фактору, а вектор
Y = {Yi },i = 1,n відгуками факторів, то для кожної вибіки
випадкової величини можна побудувати гістограму. Гістограма - це креслення в декартових координатах, де на осі абсцис
відкладається весь діапазон (розмах) розподілу Xmin - Xmax , розбитий на k рівних інтервалів (розрядів), а на осі ординат - відповідні даному розряду частоти ( l j ) або частковості (pj ) появи випадкової величини.
Для не дуже великих виборок (n<120) перевірка гіпотези на нормальність розподілу є простою і для її реалізації необхідно обчислити середнє абсолютне відхилення САВ:
CAB =ε |
|
Xi - |
|
|
|
/ n. |
|
|
X |
|
(10) |
Для вибірки, яка має приблизно нормальний закон розподілу, буде справедливим наступний вираз:
CAB/S - 0.7979 < 0.4/ n. |
(11) |
|
Крім того, уявлення про близькість емпіричного розподілу до нормального може дати аналіз показників асиметрії і ексцесу, які визначаються відповідно:
q1 = m1/m3/22 |
|
q2 = m2 /m12 - 3 . |
(12) |
Незміщені оцінки для показників асиметрії і ексцесу розраховуються за такими виразами:
10
G1 = |
n(n -1)q1, |
|
|
|
G = |
n - 2 |
[(n +1)q + 6]. |
|
|
n -1 |
(13) |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
(n - 2)(n −3) |
|
|||
Середньоквадратичні відхилення для показників асиметрії і ексцесу є другою частиною перевірки гіпотези про нормальність розподілу:
SG1
SG2
|
6n(n -1) |
|
= |
(n - 2)(n +1)(n +3), |
|
= |
24n(n -1)2 |
(14) |
(n −3)(n - 2)(n + 3)(n + 5). |
|
Отже, якщо виконуються умови:
|
G1 |
|
≤ 3SG |
i |
|
G2 |
|
≤ 5SG , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
тоді гіпотеза нормальності досліджуваного розподілу може бути прийнята.
В противному випадку, якщо гіпотеза нормальності розподілу не може бути прийнята, то за допомогою існуючих методів перетворюють вихідні дані так, щоб їх розподіл підкорявся нормальному закону. При закінченні роботи необхідно виконати зворотні перетворення.
1.Так, при логарифмуванні вихідних даних ліва вітка кривої розподілу сильно витягується і розподіл приймає приблизно)
отримуються значення в межах від 0 до 1, то для зручності розрахунків їх слід помножити на 10 у відповіній степені,
тобто виконати перетворення: x′′ = lg(x)*10α .
11