Методология науки. проблемы и история

КЧР. ТРШll:ll. ШIШ1l1Пlка. § 16 "О IIсрвона'lаЛhНО-I:I1НТСТИЧСI:КОМ С,111111:ЛJС allllCp- llеIlШIИ·). С. 104.

КЧР. Tpalll:lI. аllaJlllПlка. § 17 "ОI:IЮВОIIOЛОЖСIIИС о 1:11tIТt:Пlческом е,lII1IСТВС all-

IIt:рШ:1Il1l111 t:I:Tb ВЫI:ШIIЙ IIРИННИII всякою примеllСlIIlЯ рассудка». С. 105-106.

13 I1JВССЛIОМ 1:\IЫl:ле Кшп IIЛCT iНlЛhlllС декарта. т.к. ОТРИllает утверждеllие "CogilO.

e.I!,ГO SlIIII') В Ka'lel:·IBeсинтетичсскою и утвеРЖ.1аст. '1ТО оно - аналитичсскос. T.t:.

ЫI Там же. С. 192. tll Там же. С. I~I. 62 Там же. С. IН5.

КЧР, Tpallcu. l1иалсктика, "О траНl:lIендентальноii иллющи». С. 21 о.

64 Кант сам об этом высказывастся Bel:bMa недвусмькленно в "ПролеГОМСllах.), §44.

КЧР, Трансн. диалеКПlка. Введение, "д. О разуме вообше». С. 211-212.

кчр, ТршiCU. диалеКТlIка. ПРl1JlОженис. "О КOflе'lНОЙ uели естественной диалск­ тики 'lелове'IССКОГО разума.). с. 387.

КЧР, ТраНСll. диалектика, "Регу.~ЯТllвныii IIРИНUИII '1I1CTOI·Oразума в отношеlНlИ

КОI:МОЛОI·ИЧСI:КИХ идеij.). С. 314.

61-. (.Опыт. содержuшиti осе, что принадлежит к ЧУRствеliНОМУ миру. не ограlН1ЧИ8uет

сам себя; 011 11среХОJ\ИТ от каждого УСЛОВIIOГО всег:ш к другому, столь жс условно­ му. То, '1то ДОJlЖIIО Оl·раничивап, OllbIT, должно наХОДI1ТЬСН совеРШСIIIЮ Blle его, и

но-то ссл, область '1IIСТЫХ YMcTBellHbIx сушностсii» 1Прол/'гом/'ны, § 591.

6Ч ЛюБОIlЫПНl IlараЛЛСJlh, которую IIРОВОЛИТ здссь Кант: "ДаВIIO ужс ВЫI:КaJЫIШСТОI

IIOЖt:.'lаIIlIС. которос, быть можст, КОГ,lа-ниБУllЬ IICIIOJlII ится, - '1тобы вмссто бес­ КOIIСЧНОГО раJtlOобразия граж:щнских законов были IlайдеllЫ их ПРИНIIIIIlЫ, так

как только в разрешении этой зада'lИ и состоит секрет упрощсния законо;щтель­

ства. Но шконы ~ОI·О рО.1а суть лишь OI·раничеНЮI нашей свободы условиями, пр" которых она вполне СOl·ласуется с самой собой; стало быть, они lIаllраВЛСНhI 11<1 то, что полностью составляет наше собствеlНЮС пюрение и причиной 'Iero можем быть мы сами llOсредством этих понятиЙ. Однако треБOlШНl1е объяснить, каким образом предметы сами по себе, природа вещей ПОД'IИНЯЮТСЯ ПРЮIIIIШУ и

должны определяться одними лишь понятиями, представляется если не невоз­

можным, то по крайнсй мере очень Ilелепым. Как бы дело ни обстояло здесь I!

действительности (исслеДОШlние этого вопроса еше предстоит 'IНM), во всяком случае отсюла ясно, что ПОЗllание из прющигlOН (самих по себе) есть не'lТО совср­

UlСtlllO Иlюе, чем lюзнаНllС 'IИСТОГО рассудка... ·) - кчр, TpaHcll. диалеКТllка. ВВС- ,1Clllle, -д. О разуме вообще». С. 212.

711 КЧР, TpallclI. диалектика. 13ВСДСНlIС, (,13. О ЛОГИ'lеском IIрименснии разума.). С. 214.

71К'lР, ТРШIСU. диалектика, Ввсдсние, .с. О чистом применении разума". С. 215. КЧР, Транси. диалектика, .Система космологических идей». С. 265.

141

К'lР. Трансц. ;lI1аЛt:КТl1ка. <.Об IIнтересе р'lJума 11 ')ТОМ С['О "РОПI110рt:ЧIIII •. С. 297,

74К'lР. Tpallcu, ДIНI.1СКТllка, ПРllложеНllе •• О конечной UС,'IИ естсстнеllНОЙ Jlta.1CK-

ТИКII чеЛUIIС'It:СКUГО P<ljY~1U'" С, 391.

75СМ.: КЧР. Tp"t'CIJ. ,:Нt,LТJектика. «О траНСllеНДСllТшlЬНЫХ И.1енх,•. С. 222.

1.t2

В. С. Черняк

Математика и реальность: концепция

Фердинанда Гонсета

(в контексте истории математики первой половины ХХ в.)

В данной статье мы остановимся на особенностях эпистемоло­

гии, представленной работами Фердинанда Гонсета, которые были инициированы новым этапом в развитии математики. В 20-30 годы в Германии и Франции возникло мошное направление в математике,

которое имело свой исток в абстрактной алгебре.

По сушеству в эти годы математика развивалась под знаком ШJгеб­

раизации, Т.е. проникновения методов алгебры в самые различные ма­

тематические теории. Важную роль в пропаганде и распространеНI1И «нового стиля» математики сыграл труд Ван-дер-вардена «Современнан алгебра», выдержавший с 1930 r. восемь изданий и до сих пор явлню­

шийся одним из наиболее цитируемых математических источников. Жан ДЬедонне - наиболее известный представитель группы Н.Бурбаки IlИ­

сал о своего рода шоке, который произвсл этот труд на тех математиков, которые не знали о сушествовании «современной алгебры», развивае­

мой в матемаТИ'lеских кружках Гамбурга и Гепингена.

Другим важным событием стало возникновение в 1934-1935 гг. Французской группы математиков Н.Бурбаки, которая с самого на­

чала рассматривала идею структуры как основное понятие современ­

ной математики. Эта школа в значительной мере опиралась на идеи Гильберта, Неттер и других близких к ним по духу математиков, ко­ торые видели во всякой аксиоматике «конструкцию понятий». «Мак­

сима, которой постоянно руководствовалась Эмми Непер, могла бы

быть сформулирована следуюшим образом: все отношенин между числами, функциями и операциями становятся абсолютно ясными, способными к обобшениям и истинно плодотворными лишь тогда, когда они освобождены от их конкретных объектов и сведены к об-

144

шим отношениям понятий. 3тоттезис... составлял фУllдаментальный принuип ее мысли, - писал Ван-дер-Варден. - Она не могла усво­

ить и переработать ни одного высказывания. ни доказательсТlШ, преж­ де чем они будут схвачены абстрактно и представлены умственному

взору с абсолютной ясностью. Она могла мыслить только кониепты,

ане формулы и в этом была ее сила»I.

Вэти же годы параллельно с математическими исследованиями

развивалась и структуралистская конuепuия математики, представ­

ленная во Франuии двумя учениками Л.Брюнсвика - Ж.КаваЙесом и А.Лотманом, профессионально подготовленными как в области математики, так и в области философии и стремившимися найти аль­

тернативу неокантианству в структуралистской конuепuии.

Для Кавайеса новая структурная математика, построенная на ос­

нове аксиоматического метода, яВШlется образuом научного ГIOЗНЮIШI.

Понятие структуры - нентральное в философии математики КаваЙеса. Основная его функuия состоит в органи],щии JlI3НИЯ. Вслед за Больuано он полагает, что теория науки совпадает с теорией струк­ туры науки. Поскольку же наука состоит из доказанных теорий, то ее структура совпадает с доказательством. Структура управляет I1рогрес­

сом науки, так как дедуктивная иепь рассуждении по существу и со­

здает ее содержание.

Таким образом, структура есть I1рИНUИП движения, прогресса. для

Кавайеса аксиоматизаШ1Я - это не простая дань пустому и стериль­

ному догматизму, а подлинный принuип I1зобретенин. Она не игра в

символы, как считали некоторые, а средство обнаружения общих

структур, заключенных в частных проблемах. для Кавайеса смысл теорий состоит в их коннептуальном становлении: «Все содержание - объекты наблюдения для эпистемолога и маНИПУЛЯUИII для практи­

ки: теоремы, пронедуры доказательства, операuии, свойства, сами

теории проникнуты движением, в котором структура развертывается

и демонстрирует саму себя»2 .

Структура не статична, а динамична, не регидная схеlШI, а мо­ мент «творческой диалектики». Именно в возрастании абстрактнос­ ти Кавайес видел движущую силу развития математики, которая реа­ лизуется в проиессах «тематизаuии» И «идеализании». Благодаря аб­

страктной аксиоматике, ее схематизирующей роли открываются новые, подчас неожиданные зависимости между, казалось бы, несвн­

занными дотоле математическими теориями.

Кавайес сжато сформулировал свою конuепuию математики в ходе острых дискуссий, имевщих место в «Франuузском философс­

ком обществе» в 1939 г. Суть его позиuии сводилась к тому, что ГI1ЛЬ-

145

бертовская математика интериоризиропала эпистеМОЛОГИ'lескую про­

блему оснований, трансформировав ее в чисто матемаТИ'lескую про­ блему. Исходя из этого он выдвинул четыре основных тезиса:

1) существует uелостность или единство математики, делающее невозможным сведение ее к какому-то абсолютному началу (критика одновременно логиuизма и феноменологизма гуссерлианского толка);

2) математика развивается диалектически, идя своим автоном­

ным и n принuипе непредсказуемым путем;

3) решение математической проблемы аналогично эксперимен­

ту, производимому по программе в соответствии справилами;

4) существован ие математических объектов совпадает с актуал и­

заuией метода, т.е. дедуктивным развертыванием математической

структуры.

В своей аксиоматической форме математика предстан.Шlется CKOIl- лением абстрактных форм - математических структур, пишет Н.Бурбаки. Однако такое формалистское толкование математики

встретило решительный отпор со стороны представителеi1 классичес­

кого и интуиuионистского направлении. Так один изсамых извеСПlhlХ математиков современности Рихард Курант писал: «Часто говорят, что uель математики - это последовательное абстрагирование, логически строгая аксиоматическая дедукuия и последующее еще более широкое

обобщение. Такая характеристика содержит лишь долю правды, по­

скольку она ограничивается однобоким, а порой и карикатурным изоб­

ражением действительности... Однако излишнее акuентирование

именно этой стороны математики сбивает с правильного пути, если конструктивным элементам, индукuии, воображению, а также трудно уловимому проuессу мышления, называемому интуиuией, отводится

лишь второстепенная роль ... Точно так же, как дедукuия должна до­

полняться интуиuией, стремление к последовательному обобщению должно сдерживаться и уравновешиваться бережным и любовным от­

ношением к частностям... Взаимосвязь общего с частным, дедукшlИ с

конструктивным подходом, логики с воображением - именно они 11

составляют самую сущность живой математики. Может оказаться, что

в основе какого-то конкретного достижения лежит только один из пе­

речисленных аспектов, однако всякое перспективное достижение, не­

сомненно, содержит все эти аспекты... Иными словами, полет в об­

ласть абстрактной общности должен исходить из конкретного и част­

ного и завершаться конкретным и частным.») .

Подобная позиuия нашла свое яркое выражение в известной кни­ ге Фердинанда Гонсета «Математика И реальность.)!. В качестве ос­

новного объекта исследования Гонсет берет геометрию, которая вы-

146

<.:Т'.:пuет в качестве парадигмы при исследовании тuких математичес­

ю;х форм, как арифметикu и логика. Ф.Гонсет не принимает распро­

cTpuHeHHoro в математике определения геометрии, согласно которо­

му она рассматривается как учение о чистых отношениях, не]ависи­

мых от индивидуальной природы СВЯJываемых объектов. Он и<.:ходит 11] того, что если специфику геометрии видеть в общем строении ИJO­ морфных обра]ов, то неВОJМОЖНО удовлетворительно обо<.:новать СВЯJь геометрии с ре,UJЬНЫМИ пространственными формами. Поэто­

му математическая концепция геометрии, трактующая последнюю

как чистую форму, должна бытьдополнена эпистемологической кон­ цепцией, связывающей эту форму с действительностью.

Ф. Гонсет полагает, что специфически геометрические свойства

<.:ледует искать не в общей структуре геометрических моделей, u в той индивидуальной, особенной форме, благодаря которой эта структу­ ра становится отображением реального физического пространства. Собственно геометрическими являются лишь те схематические пред­ ставления (образы), смысл которых понятен с учетом реалыюсти, которую они и]ображают. Поэтому понятие геометрического чуждо схеме абстрактных отношений. Переступая порог абстракции, кото­

рый отделяет логику от геометрии, геомеТРИ'lеские пон}пия теряют

"а<.:ть того, 'по можно было бы НaJlЩТЬ их <.:уб<.:танциеЙ: все то, что

е<.:ть конкретная форма, все то, что напоминает об их ]начеНI1 и в мире явлений, воспринимаемых непосредственно чувствами.

Специфически геометрические свойства неотделимы от фl1]И­ ческой субстанции, Т.е. реальных пространственных тел, идеали]а­

циями которых они являются. Например, понятие прямой предпо­

лагает предварительное ]нание некоторых её ре,UJизаций, таких, как ребро линейки, натянутую нить, луч света и Т.п. То же самое можно

скюать о точке и плоскости. Но, с другой стороны, эти понятия об­

ретают свой рациональный смысл лишь в факте аксиоматизаЦИI1,

которая ]авершается созданием абстрактной схемы. Таким оБРaJОМ, 11 эпистемологической концепции Ф.Гонсета имеет ме<.:то нерюрыв­

ная <.:вязь математического и физического аспектов геометрического

ЛI<IНI1Я, вследствие чего СУШIЮСТЬ геометрического понимается как

аК<.:11Оматическое и<.:<.:ледование нuглядных геометриче<.:КI1Х образов.

Эту свЯJЬ РaJЛИЧНЫХ уровней геометрии Ф.Гонсет обосновывает генетиче<':КI1. Согласно Ф.Гонсету, геометрические концепты не име­

ют рю и навсегда фиксированной формы и неи]менного содержа­

НШI, они ПО<,:ТШIННО эволюционируют. Это удобно прослеДI1ТЬ на ОТ­ llеЛЫIЫХ геометрических концептах. 80]ьмем понятие прямой, кото­ рое в ходе своей эволюции прошло по крайней мере три фaJЫ.

147

ПервонаЧШ1ЬНО оно выступает 13 качестве интуитивного представленин

о «прнмизне,), затем 13 форме геометрической схемы, выработанной греческой геометрией, и, наконец, в качестве логического отношения

13 «Основанинх геометрии,) д. Гильберта. Однако, достигнув своей наи­ более рафинированной формы в аксиоматической геометрии, понSI­ тие прямой не отбрасывает свои предшествуюшие формы, на которых оно основывает свой смысл и свою субстанцию. Напротив, оно про­

ецируется на свои предшествуюшие «планы сушествования,).

Фундаментальную оппозицию математики и ремьности Гонсет

:JКСП.1ицирует посредством целого ряда оппозиций: субъективное и объективное, абстрактное и конкретное; мысль и данное; метафизи­

ка и физика; рациональное и реальное; теоретическое и эмпиричес­ кое. Все эти противопоставления сводятся в конечное счете к обше­

му отношению бытия к знанию - двух сушественно различных по­ рядков реальности, между которыми просматривается некоторый параллелизм, принимаюший разнообразнее нормы: соответствие идей реальности, адекватность концептов вешам, верность умствен­ ных образов своему объекту.

Пере'lисленные выше оппозиции обладают, однако, сушествен­ ным недостатком, так как с формальной точки зрения они порожда­

ют иллюзию, будто два противоположных термина могут быть реа­

лизованы независимо друг от друга, что абстрактное может сушество­

вать независимо от конкретного, что раз и навсегда поделены и

ИЗOJlированы друг от друга сферы рационального и реШIЫЮГО, тео­ рии и эксперимента, идеи и вешей и что каждый из этих терминов

имеет окончательное и неизменное зна'lение~

Гонсет считает такую статическую концепцию отношения мыш­

леllИН к бытию совершенно неприемлемоЙ. Почему, в самом деле,

образ должен быть образом мертвой веши, а не живой веши, рас по­

лагаюшейсн между прошлым и будушим'! ПО'lему указанные выше

кон цепты не имеют истори и'! (,Одно из естествен н ых свойств умствен­ Hoгo объекта - быть сушественно в состоянии становленин,) (р. 30).

Это относитсSl И К математическим ПОЮlТиям, которые кажутся окон­

чательно определенными. К тому же математика не находится вне

поля обычной мысли, если речь идет о достаточно простых суждени­

нх о повседневной реШ1ЫЮСТИ. Сушествует, таким образом, единство

различных порндков ЗШIНIНI, простиравшеГОС}1 от интуитивного к

предельно абстрактному. Среди противопоставлений, выражаюших

различные аспекты фундаментальной проблемы отношеНИ}1 мышле­

I!ИН к бытию, lIаиболее значимой ямяетсн проблема отношенин ма­

тематики к ре,UIЬНОСТИ, и вснкий прогресс, реализованный в этой точ-

14Х

ке, неизбежно отзывается на всех других точках. Решение в этой един­ ственной точке влечет решение повсюду. Наше знание о реальности

вовсе не означает того, что она сушествует именно такой, какой мы ее

постигаем, что наше знание о ней совпадает с тем, что существует вне и помимо нас и что мы ограничиваемся образами (отпечатками), фор­ ма которых не зависит от нашей собственной активности. Гонсет, на­ против, полагает, что <,наши идеи о мире несут печать собственной

структуры нашего умственного существа, так же как и личности; арти­

стическая структура художника обнаруживается в его манере. Други­ ми словами, реальность такая, как мы ее постигаем, ~lВляется более или

менее автономной конструкuией нашего духа, существенная uель ко­ торого состоит в том, чтобы сделать возможным действие» (р. 54).

Он называет предкритическим то положение до Канта, которое характеризуется убеждением, что знание так или иначе может при­

ближаться к реальности, определенной совершенным и окончатель­

ным образом. К представителям док-ритического периода Гонсет от­ носит Платона, универсалии схоластов и вечные объекты УаЙтхеда. Эта характеристика относится также к Декарту, который воображал,

что мир может быть полностью выведен в математических терминах, и к английскому эмпиризму с его поисками <.абсолютно Щ1ННОI'0 в

'IИСТОМ ощущении».

Кант посредством анализа поюпий пространства, времени, при­

чинности установил, что знание является функuией имманентной структуры духа, однако создание неевклидовых геометрий показало,

что утверждение Канта: <.Пространство есть априорная форма нашей

интуиuии», является в высшей степени проблематичным и что само

понятие а priori должно быть переосмыслено. Его трактовка этого

ПОЮIТИЯ привела кантианство к поражению, <,но значение его фун­

даментального открытия остается в силе. Современное развитие ма­ тематики и естествознания не опровергает его» (р. 56).

Что же такое интуитивное познание? Гонсет считает, что наши

интуитивные понятия доставляют нам лишь первичную идею о ве­

щах, которая обнаруживает свою ложность, как только от нее начи­

нают требовать больше, чем она может ЩНЬ. ЭТО легко показать на

разнообразных примерах, особенно на примере классического ПОЮI­

ТШI прямой линии. Когда говорят, что грани кристалла являются от­

ре:Jками прямой линии, то высказывают достаточно точную истину.

Понятие прямой линии является совершенно законным и практи­

чески адекватным (верифиuируемым) в описании этого кристалла. Но <,эта адекватность не является абсолютной, она имеет место толь­

ко в масштабах макромира. Как только мы вступаем в область мик-

149

ром ира (атомов и молекул), она преврашаетсн в пустоli звук. Неl1ре­

рывнан ЛИНШ(, которую мы воспринимаем и мыслим HU уровне мак­

ромира, IIpeBpUlIlaeTCH в прерывную последовательность матеРИШ1Ь­

ных обрюовuний, а само поннтие прямой линии становится непоп­

равимо ложным. Таким образом, Kornu интуитивно представлнют

ребро телu как прямую линию, то по сушеству конструируют доста­ точно грубый обрuз, которым замешают реuльность, более детuлизи­ рованная CTPYKTYpu которой еше не познана.

Прямая линия есть лишь обобшенный, схематический и прови­ ЗОРllыii обрю. Эти обрюы представляют собою только суммарную

ВIIДИМОСТЬ, посредством которой мы не можем рюличатьболее С.10Ж­ ную реШ1ЬНОСТЬ, видимость, в которой вырuжаетс}( (·наш способ по­

стигать 11 знать.) (р. 59).

3нан ие, которое основано на вербмьной дедукuии, должно повсюду опираться на образы или то, что мы называем интуитивными формам,

пишет Гонсет. Таким образом, зuключаетон, мы признаем законность и

даже необходимость рудиментарlЮЙ физики, которая учитыRaЛU бы толь­

ко наиболее о'(евидные черты феноменов, совсем наивной физики, в

которой наши чувственные впечатления могли бы прямо интерпрети­ рованы как очевидные симптомы практически достоверной реальнос­

ти. Что означает выражение (.интуитивнан форма.;?

(.Мы имеем одновременно СОJнание виденин света и движениii, которое мы совершаем, - пишет Гонсет. - Более того, мы сознаем по­

ложение источника света в пространстве. ВИJУШlьная фllксаuия, так

же как I\lускульное усилие, соединены оба в поле моментов СОJнаНIIЯ,

обраlУЮШИХ умственную uелостность, которой нужно Ilриписывать объективное сушествование и некоторую структуру. Более или менее

полно она всегда Jанимает наше сознание и проявляется посредством

интуитивного представления и идеи пространства. Другими слова­

ми, то, что мы называем воспринимаемым пространством наших

представлений, есть чисто умственнuя реальность: это внекотором

родс отпечаток в нuшем актуальном сознании виртуального поля мо­

ментов СОJН<IНИЯ') (р. 63).

Понятие (,интуитивнан форма.) Гонсет иллюстрирует фактом

«Lшста.), чисто фИJический феномен отпечатка света у художника на оргаНИJМ сопровождается умственным ФеlюмеlЮМ ('ошушения (ше­

ЛI'); I1СIIОЛЬЗУЯ известный парафрю Канта, нужно теперьскюать: ивет есть форма нашего восприятия. Комплекс моментов СОJН<IIIИЯ, свя­

]анных в феномен ивета, рассматриваемый в своей uелостности, бу­ лет нюываться ИНТУИПllllюii формой, относящейся к ивету. Само же rЮНЯПlе Ilвета есть как бы отпечаток этой формы в плане актуально-

(50