Мат. лінгвістика 1

перестановка 3142 має три інверсії 3,1 , 3,2 , 4,2 . Кожна інверсія – це пара елементів, які “порушують порядок”; відповідно, єдина перестановка, яка не має інверсій, – це відсортована перестановка 1,2,...,n .

Наприклад, таблиця інверсій перестановки 591826473 буде 236402210, оскільки 5 і

М. Холл встановив, що таблиця інверсій єдиним чином визначає відповідну перестановку. Із будь-якої таблиці інверсій d1d2...dn можна однозначно відновити перестановку, котра породжує дану таблицю, шляхом послідовного визначення відносного розкладу елементів n,n 1,...,1 (в цьому порядку). Наприклад,

перестановку, що відповідає таблиці інверсій 2,3,6,4,0,2,2,1,0 d1d2d3d4d5d6d7d8d9 ,

можна побудувати наступним чином: випишемо число 9; так як d8 1, то 8 стоїть відносно 9 справа. Оскільки d7 2, то 7 стоїть направо від 8 і 9. Так як d6 2, то

6 стоїть направо відносно двох вже виписаних чисел; таким чином, отримали розташування 9,8,6,7. Припишемо тепер 5 зліва, так як d5 0; розміщуємо 4

після вже виписаних чисел, 3 – після шести виписаних чисел (тобто в правий кінець) і отримаємо 5,9,8,6,4,7,3. Розмістивши аналогічним чином 2 і 1, прийдемо до перестановки

Така відповідність між перестановками і таблицями інверсій важлива, тому що часто можна замінити задачу, сформовану в термінах перестановок, на еквівалентну їй задачу, сформульованої в термінах таблиць інверсій. Розглянемо, наприклад, ще раз питання: скільки існує перестановок множини1,2,...,n ? Відповідь повинна бути рівна кількості можливих таблиць інверсій, а

їх легко перерахувати, оскільки d1 можна вибрати n різними способами, d2

можна незалежно від d1 вибрати n 1 способами і т. д., dn – одним способом.

Тоді різних таблиць інверсій n(n 1)...1 n!. Таблиці інверсій перерахувати досить легко, оскільки всі dj незалежні, в той же час як елементи aj перестановки повинні всі бути різними.

21

1.8Зворотні перестановки

Не треба плутати інверсії перестановок із зворотними перестановками. Звернемося знову до термінології „шарів та кошиків”. Нехай a1,a2,...,an – різні шари, індекси яких поєднано з їх номерами. Тоді вихідний розклад шарів

вигляді. Дана форма запису дозволяє розглядати перестановку в якості оператора, котрий заміняє старі номери шарів – верхній рядок матриці – на нові

перестановці поміняти місцями рядки, а потім впорядкувати стовпці в зростаючому порядку за верхніми елементами, тобто 1 1 1, 21,..., n1 . Ясно,

що послідовна зміна порядку шарів згідно перестановкам 1, 2,..., n та

22

2 ВИСНОВКИ

Виділимо шість основних комбінаторних схем.

2.1. Розміщення. Нехай є алфавіт, який складається з n елементів. З цих елементів складаються m-членні комбінації, причому кожний з n елементів може входити в комбінацію не більше одного разу і порядок елементів істотний. Такий тип комбінацій називається розміщенням. Кількість розміщень з n елементів по m визначається за формулою:

2.2. Розміщення з повтореннями. Знову візьмемо алфавіт з n елементів і будемо утворювати m-членні комбінації, допускаючи повторення кожного елемента від 0 до m разів. Порядок елементів залишається істотним. Такі комбінації елементів називаються розміщеннями з повтореннями, їх загальна кількість знаходиться за формулою

(5)

2.3. Перестановки. Нехай розміщення з n різних елементів взяті по n елементів, тобто кожне розміщення містить всі n елементів алфавіту і відрізняється від інших тільки порядком цих елементів. Такі розміщення називаються перестановками. Тоді з формули (4) можна отримати формулу для знаходження кількості перестановок. Для цього потрібно замінити m на n і врахувати, що 0! 1. Дійсно,

23

Визначимо, наприклад, скільки речень можна скласти з трьох слів: сьогодні, іде, дощ. Кількість речень тут дорівнює кількості перестановок з трьох елементів: P3 2 3 6.

Зауважимо, що оскільки перестановка є частинним випадком розміщень, то порядок елементів істотний.

2.4. Перестановки з повтореннями. У тих випадках, коли проміж елементів, що утворюють перестановки є однакові, одержуються комбінації, які називаються перестановками з повтореннями. Кількість цих перестановок обчислюється за формулою

де n – загальна кількість елементів, що входять у перестановку, а n1, n2 , ..., nk – кількість однакових елементів відповідно першого, другого, ..., k-го типів.

Визначимо, наприклад, кількість перестановок з повтореннями, які можна одержати з букв, що утворюють словоформу математика:

2.5. Сполуки. У розміщеннях з n елементів по m комбінації різняться або елементами, або порядком їхнього запису, або і елементами і порядком. Якщо

складаються з однакових елементів і відрізняються тільки порядком елементів.

2.6. Сполуки з повтореннями. Сполуками з n елементів по m з

повтореннями називаються такі комбінації, які включають m з n різних елементів за умови, що один і той самий елемент може включатись у комбінацію декілька разів. Порядок елементів неістотний. Кількість сполук n елементів по m з повтореннями визначається за формулою

3КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

24

4.1Що називається перестановкою n-елементної множини?

4.2Що називається сполученням з n елементів по m елементів?

4.3Що називається розміщенням з n елементів по m елементів?

4.4Скількома способами можна розмістити три книжки на книжковій полиці?

4.5Скількома способами на першості світу з футболу можуть розподілитися медалі, якщо у фінальній частині грають 24 команди?

4.6Збірна команда університету з волейболу налічує 15 чоловік. Скільки різних варіантів повинен розглянути тренер перед грою, щоб заявити список гравців на гру?

4.7Скільки різних слів можна побудувати перестановкою букв в

слові “лаваш”?

4.8Студенту необхідно скласти три екзамени протягом семи днів. Скількома способами це можна зробити?

4.9Скількома різними способами можна розмістити п’ять студентів в аудиторії, яка має 20 місць?

4 ЗАВДАННЯ

Розв’язати завдання, подані у додатку, відповідно до свого порядкового номеру у списку групи. При оформленні лабораторної роботи дотримуватись вимог, які наведені в методичних вказівках. Оцінювання виконаної лабораторної роботи проводиться згідно кількості правильно розв’язаних завдань з відповідного варіанту. Завдання лабораторної роботи мають три рівня складності. Оцінювання виконання завдань першого рівня в п’ятибальній системі відповідає оцінці “задовільно”, другий рівень – “добре”, третій – “відмінно”.

5ЛІТЕРАТУРА

1.Капітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А., Луцький Г.М., Печурін М.К. “Основи дискретної математики”, Київ: Наукова думка, 2002.

2.Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. “Дискретная математика”, Львів: “Магнолія Плюс”, 2005.

3.Нікольський Ю.В., Щербина Ю.М. “Збірник задач з дискретної математики”, Львів: Видавничий центр Львівського державного університету ім. І. Франка, 1998.

25

6 КОМБІНАТОРНІ СХЕМИ

26

7ВИМОГИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

1.Кожен студент отримує набір завдань відповідно до свого порядкового номеру у списку групи або відповідно до номеру залікової книжки.

2.Звіт про виконання роботи оформляється у вигляді завдань, програм та розв’язку до них.

3.Звіт акуратно оформляється на аркушах А4 та скріпляється

скріпкою.

4.Звіт про виконання лабораторної роботи необхідно захистити у строго визначені терміни.

5.Загальний принцип оформлення титульного листа лабораторної

роботи:

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"

Кафедра інформаційних систем та мереж

Лабораторна робота №1

на тему

КОМБІНАТОРНІ МЕТОДИ У ЛІНГВІСТИЦІ

Виконав студент групи СШІ-%%

Прізвище та ініціали студента

Прийняв посада Прізвище та ініціали викладача

Львів-201%

27

ДОДАТОК

Завдання до лабораторної роботи № 1

Варіант № 1

Перший рівень

1. Зобразити на координатній площині декартовий добуток множин A B та B A. У

2.Український алфавіт складається з 33 букв. Скільки ланцюжків з m 2 букв можна утворити з букв цього алфавіту, якщо повторення букв дозволені? Розв’язати цю задачу також для m 3.

3.Дані натуральні числа від 1 до 20. Скількома способами можна вибрати з них 4 числа так, щоб їх сума була парним числом?

4.Побудувати розклад

а) x y 5 ; б) x y 5 ; в) x y 6 ; г) x y 6 .

Другий рівень

5.Скількома способами можна поселити 12 студентів у 4 кімнати гуртожитку, поселяючи по 3 студенти у кожній?

6.Довести комбінаторними міркуваннями (тобто використовуючи тільки визначену кількість сполук) рівність Cnk Cnk 1 Cnk 11 .

7.Яка кількість матриць можна скласти із n рядків та m стовпців з елементами із множини 0,1 ?

8.Довести, що непарна кількість предметів можна обрати із n предметів 2n 1 способами.

Третій рівень

9.Поїзду, в котрому знаходиться n пасажирів, треба зробити m зупинок. Скількома способами можуть розподілитися пасажири між цими зупинками?

10.Скількома способами можна розділити колоду із 36 карт пополам так, щоби в кожній пачці було по два тузи?

11.Скількома способами можна скласти триколірний прапор, якщо є матеріал 5 різних кольорів? Та ж задача, якщо одна зі смуг повинна бути червоною.

12.Запрограмувати всі із перелічених вище задач на мові Сі або С++.

28

d) B B B.

2.Український алфавіт складається з 33 букв. Скільки ланцюжків з m 2 букв можна утворити з букв цього алфавіту, якщо повторення букв не дозволені? Розв’язати цю задачу також для m 3.

3.Дані натуральні числа від 1 до 40. Скількома способами можна вибрати з них 4 числа так, щоб їх сума була непарним числом?

4.Визначити коефіцієнт

Другий рівень

5.Скількома способами можна поселити 12 студентів у 3 кімнати гуртожитку, поселяючи по 4 студенти у кожній?

6.Визначити кількість розв’язків рівняння x1 x2 x3 12 у невід’ємних цілих числах при обмеженнях x1 1;x2 2;x3 3.

7.Скількома способами можна скласти трьохкольоровий прапор, якщо є матеріал 5 різних кольорів? Та же задача, якщо одна із смуг повинна бути червоною.

8.Скількома способами можна посадити рядом 3 англійців, 3 французів та 3 німців так, щоби ніяких три співвітчизника не сиділи разом?

Третій рівень

9.Скільки можна скласти перестановок із n елементів, в яких дані m елементів не стоять поряд в будь-якому порядку?

10.Скількома способами можна розкласти 10 книг в 5 бандеролей по 2 книги в кожну (порядок бандеролей не приймається до уваги)?

11.Скільки учасників у шаховому турнірі, якщо відомо, що кожний учасник зіграв з кожним з решти, а всього було зіграно 210 партій?

12.Запрограмувати всі із перелічених вище задач на мові Сі або С++.

29