Мат. лінгвістика 1

Задача. Знайти кількість всіх п’ятизначних чисел.

Розв’язок. Введемо п’ять множин: A2 A3 A4 A5 {0,1,...,9},A1 {1,2,...9}. Тоді

1.2.2Розміщення без повторень

Розглянемо n різних елементів a1,a2,...,an . Скільки комбінацій довжиною k

можна скласти з них, якщо повторення не дозволяються?. Такі розміщення називаються розміщеннями без повторень, а їх кількість позначають Ank (два розміщення вважаються різними, якщо вони відрізняються виглядом складових або порядком їх розташування). При складанні таких комбінацій на перше місце можна поставити будь-який із n елементів. На друге місце тепер можна поставити лише будь-який із n 1 елементів і т. д. Нарешті, на k -те місце – будьякий із n k 1 елементів. За правилом прямого добутку отримаємо, що загальна

Задача. В хокейному турнірі беруть участь 17 команд. Розігруються золота, срібна та бронзова медалі. Скількома способами можуть бути розподілені медалі?

Розв’язок. 17 команд претендують на 3 місця. Тоді трійку призерів можна

вибрати способами A173 17! 17 16 15 4080.

14!

1.2.3Перестановки

При утворенні розміщень без повторень із n по k ми отримали комбінації, які відмінні одна від одної або складом, або порядком елементів. Але якщо розглядати розміщення, які містять всі n елементів, то вони можуть відрізнятись один від одного лише порядком розташування цих елементів. Такі розміщення

елементів в перестановці; нижній рядок – той же набір чисел 1,2,...,n, взятих в певному порядку, j - номер елемента на j-му місці перестановки. Порядок

11

стовпців в перестановках, записаних в матричній формі, не є суттєвим, оскільки в цьому випадку номер позиції кожного елементу в перестановці вказується явно в верхньому рядку. Наприклад, перестановка 3,2,4,1 із чотирьох елементів

Задача. Скількома способами можна розставити на шаховій дошці 8 тур, щоб вони не могли бити одна одну?

Розв’язок. Умова “не могли бити” означає, що на кожній горизонталі та вертикалі може стояти лише одна тура. Тому кожному розміщенню тур на дошці

номери горизонталей, нижній – вертикалей, перетин яких визначає положення тур на дошці. Відповідно, кількість розміщень дорівнює кількості перестановок із 8 елементів: P8 8!.

1.2.4Сполуки

Втих випадках, коли нас не цікавить порядок елементів в розміщенні, а цікавить лише його склад, говорять про сполуки. Сполуками із n різноманітних елементів по k називають всі можливі розміщення довжини k , утворені із цих елементів і відмінні один від одного складом, порядок елементів не суттєвий.

Складемо всі сполуки із n по k. Потім переставимо в кожній сполуці елементи всіма можливими способами. Тепер ми отримали розміщення без повторень із n

Задача. Скільки різних прямокутників можна вирізати із клітинок дошки, розмір якої m n?

12

хлопчикові. Тоді кількість способів поділити яблука між хлопцями дорівнює

різних елементів {1,11 2,...,1n}, значення кожного із них дорівнює одиниці. Тепер будь-який розв’язок вхідного рівняння можна представити як суму, складену із

однаковими індексами, можна скласти відповідні складові xj розв’язку вхідного рівняння. Дана відповідність є взаємно однозначною, звідки і випливає, що

Розв’язок. Безпосереднє використання формули для сполук з повтореннями

дає

x1 x2 x3 11 за умов x1 1,x2 2,x3 3.

Розв’язок. Очевидно, що ця задача є еквівалентною знаходженню розв’язка рівняння у невід’ємних цілих числах x1 x2 x3 5 уже без обмежень. Справді,

потрібно врахувати щонайменше 1 елемент першого типу, 2 елементи другого типу та 3 елементи третього типу – разом 1 2 3 6 фіксованих елементів; отже, 11 6 5 елементів залишиться для вільного вибору,

Задача. Визначимо кількість розв’язків у невід’ємних цілих числах нерівності x1 x2 x3 11.

14

Розв’язок. Уведемо допоміжну змінну x4 , яка може набувати цілі невід’ємні значення, і перейдемо до еквівалентної задачі: визначимо кількість розв’язків у невід’ємних цілих числах рівняння x1 x2 x3 x4 11. Отже,

1.2.6Перестановки з повтореннями, мультимножини

Задача формулюється наступним чином. Розглядаються елементи k різних видів. Скільки існує перестановок із n1 елементів першого типу, n2 елементів другого типу, ..., nk елементів k -го типу? Розглянемо, наприклад,

мультимножину M {a,a,a,b,b,c,d,d,d,d}, в якому є 3 елементи a, 2 елементи b, 1 елемент c та 4 елементи d . Мультимножина – це те ж саме, що і множина, але в ній допускаються однакові елементи. Повторення елементів можна вказати і наступним чином: M {3a,2b,1c,4d}. Таким чином, перестановки з повтореннями – це перестановки елементів мультимножини. Якщо б ми розглядали всі елементи множини M як різні, позначивши їх a1,a2,a3,b1,b2,c1,d1,d2,d3,d4 , то отримали б 10! перестановок, але після відкидання індексів частина з них були б однаковими. Фактично, кожна перестановка множини M зустрілась би рівно разів, оскільки в будь-якій перестановці M індекси при літерах a можна розташувати 3! способами, при b

– 2! способами, при c – одним способом, а при d , відповідно, 4! способами.

до загального випадку ті ж викладки доводять, що кількість перестановок будьякої мультимножини (перестановок з повтореннями) рівна поліноміальному коефіцієнту

15

що елементи k-го типу можна розмістити в перестановці Cnnk n1 n2 ... nk 1 способами.

Згідно правила прямого добутку, кількість перестановок з повтореннями дорівнює

Задача. Скільки існує різних перестановок із букв слова “Уссурі”?

2!1!1! 2!

1.3Впорядковане розбиття множин

Підрахуємо кількість розбиттів скінченої множини S , де | S | n , на k різних

розглядається як впорядкована послідовність. При формуванні впорядкованої

прямого добутку отримаємо, що загальна кількість впорядкованих розбиттів множини S на k підмножин рівна

не перетинаються, допускає інтерпретацію в термінах “кошиків” та “шарів”.

16

Задача. В студентській групі, яка складається із 25 людей, при виборі старости за висунуту кандидатуру проголосували 19 людей, проти – 3, утримались – 3. Скількома способами може бути проведено таке голосування?

Розв’язок. Маємо три різні кошика: “за”, “проти” та “утримались”, в які необхідно розкласти 25 шарів, відповідно 19 – в першу, 3 – в другу, 3 – в третю.

1.4Невпорядковане розбиття множин

1, 3 , 4 , 25 ;

1, 3 , 25 , 4 ;

25 , 1, 3 , 4 ;

4 , 1, 3 , 25

вважаються однаковими.

Позначимо кількість невпорядкованих розбиттів множини S через N(m1,m2,...,mn). Розглянемо схему формування впорядкованого розбиття для

Скористаємось інтерпретацією формування впорядкованого розбиття як розкладання n різних шарів по різних m1 m2 ... mn кошиках так, що в кожний

17

із mi кошик кладуть i шарів. Тепер відмовимось від впорядкування підмножин в розбитті. Нехай всі кошики мають різну кількість шарів, такі кошики можна розглядати як різні (вони відрізняються кількістю шарів). В цьому випадку впорядковані та невпорядковані розбиття співпадають. Нехай тепер в розбитті існує mi кошиків з однаковим числом шарів. При впорядкованому розкладанні такі кошики розглядаються як різні. Але при невпорядкованому розбитті обмін шарами таких кошиків можна розглядати як відповідну перестановку вказаних кошиків, що не приводить до нових розкладань. Якщо кількість кошиків з однаковим числом шарів дорівнює mi , то невпорядкованих розбиттів буде в mi !

раз менше, ніж впорядкованих. Тоді загальна кількість невпорядкованих розбиттів буде в m1!m2 !...mn ! разів менша, ніж кількість впорядкованих.

Відповідно,

n!

N(m1,m2,...,mn ) (1!)m1 (2!)m2 ...(n!)mn m1!m2 !...mn !.

Задача. Скількома способами із групи 17 людей можна сформувати 6 коаліцій по 2 людини і 1 коаліцію із 5 людей?

Розв’язок. Необхідно розбити множину із 17 людей на невпорядковані групи, що не перетинаються. Звідки шукана кількість становить

кожній (невпорядковане розбиття), тобто тільки 3 способами можна розділити тузи пополам. Далі, кожна половина будь-якого із цих трьох розбиттів тузів виконує роль різних двох “кошиків”, куди необхідно розкласти інші 32 карти. Розкладання 32 інших карт вже буде впорядкованим, а оскільки “кошики” різні,

то число розкладань дорівнює 32! . Згідно правила прямого добутку, загальна

16!16!

1.5Поліноміальна формула

18

Формула

1.6Біном Ньютона

Частковий випадок поліноміальної формули (2):

k 0

називається біномом Ньютона.

Розглянемо декілька задач, в основі розв’язування яких лежить біном Ньютона.

n

Задача. Довести рівність Cnk 2n .

k 0

19

Розв’язок. Використаємо формулу (3) бінома Ньютона, в якій покладемо

n

a 1 та b 1, тоді 1 1 n Cnk 1k 1n k .

кожен із доданків Cn2k та Cn2k 1 складає половину числа 2n .

k 0 k 1

n

Задача. Довести рівність k Cnk n2n 1 .

k 0

Розв’язок. Використаємо формулу (3) бінома Ньютона, із якої, поклавши

задану рівність.

1.7Інверсії

Перестановки особливо важливі при вивченні алгоритмів сортування, оскільки вони слугують для представлення невпорядкованих вхідних даних. Щоб дослідити ефективність різних методів сортування, потрібно вміти підраховувати кількість повторень деякого кроку алгоритму.

Нехай a1,a2,...,an – перестановка елементів множини 1,2,...,n . Якщо i j, а ai aj , то пара ai,aj називається інверсією перестановки. Наприклад,

20