Основи Логіки. Методичка

З таблиці 4.1 видно, що формула ( (p q))~(p ( q))) є тавтологією, а, отже, формули ( (p q)) та (p ( q)) еквівалентні.

Очевидно, що для перевірки тотожності ( (p q)) та (p ( q)) можна не обчислювати ( (p q))~(p ( q))), а порівняти їхні значення у кожній з інтерпретації. Як видно з таблиці істинності стовбчики значень ( (p q)) та (p ( q)) співпадають, а отже ці формули еквівалентні. 

Приклад 4.2. За допомогою таблиць істинності довести, що (p q) (q p).

Складемо таблицю істинності для формули (p q)~(q p):

Таблиця 4.2

З таблиці 4.2 видно, що формула (p q)~(q p) не є тавтологією, а, отже, формули (p q) та (q p) не є еквівалентними.

Другий спосіб визначення еквівалентності формул – використання

законів логіки висловлювань. Алгоритм доведення:

1) Вилучити імплікації, еквівалентності та альтернативне або.

Правило вилучення еквівалентності: p ~ q ( p q) (q p) . Правило вилучення імплікації:( p q) p q .

Правило вилучення альтернативного або: p q p ~ q .

2)Позбутись знаків заперечень над великими виразами за допомогою законів де Моргана та закону подвійного заперечення.

3)Використання решти законів для спрощенння формул.

Дані закони наведені в таблиці 4.3. Їхню істинність можна перевірити таблицями істинності.

Приклад 4.3. Довести, що формула p q p q є еквівалентною формулі p q , використовуючи закони та правила логіки висловлювань.

1. Вилучення імплікації у формулі:

11

p q p q p q p q .

2. Використання законів де Моргана:

p q p q p q p q .

3.Використання закону подвійного заперечення:

p q p q p q p q .

4.Застосування закону асоціативності та комутативності:

p q p q p p q q .

5.Використання закону поглинання

p q q p q .

6. Застосування правила вилучення імплікації: p q p q .

p q p q та p q є еквівалентними. ▲

Приклад 4.4. Використовуючи закони логіки, показати, що формула (( p q) (q r)) ( p r) є тавтологією.

1. Вилучаємо імплікацію:

(( p q) (q r)) ( p r) p q q r p r .

2. Використовуємо закони де Моргана:

p q q r p r p q q r p r .p q q r p r p q q r p r .

3. Використання закону подвійного заперечення:

p q q r p r p q q r p r .

4. Застосування закону асоціативності:

p q q r p r p q q r p r . 5. Застосування закону виключеного третього:

p q q r p r =T T T =T.

Отже, задана формула є тавтологією. ▲

Третім способом доведення логічних рівностей є комбінований спосіб, що використовує як таблиці істинності, так і закони логіки висловлювань.

Приклад 4.5. З використанням комбінованого способу довести, що формула (( p q) ( p q)) є тавтологією.

Позбудемось імплікації:

(( p q) ( p q)) = (( p q) ( p q)) .

Складемо таблицю істинності для формули (( p q) ( p q)) ,

беручи до уваги лише можливе значення змінної p:

Таблиця 4.4

12

Отже, формула (( p q) ( p q)) є тавтологією.

5. Логіка предикатів

Логіка предикатів – розвиток логіки висловлювань. За допомогою формул логіки висловлювань можна описати структуру складних висловлювань, встановити їхню істинність чи хибність в залежності від істинності простих висловлювань, що входять у нього. Для опису внутрішньої логічної структури простих висловлювань використовується поняття «предиката».

Означення 5.1. Предикатом називається логічна функція, аргументами якої можуть бути довільні об'єкти з деякої множини, а сама функція може приймати значення істинності або хибності.

Предикати відображають властивості та відношення між предметами деякої множини.

Означення 5.2. Предметні символи – імена аргументів предикату, що позначаються малими буквами.

Означення 5.3. Предикатні символи – імена, якими позначають предикати та записують великими буквами.

Означення 5.4. Предметна область – це область значень аргументів предикату.

Приклад 5.1. Нехай маємо речення «x – просте число». Предикат: P(x) – «x – просте число».

Предметний символ: х.

Предикатний символ: Р – «просте число». Предметна область: D – (-∞,∞).

Означення 5.5. n-місний предикат – предикат, що містить n змінних x1, x2 ,...,xn .

Приклад 5.2. Нехай речення « x1 x2 ≥4» задано предикатом P( x1, x2 ).

Тоді Р(1,2) – хибне висловлювання, а Р(3,5) – істинне. Тобто Р(1,2)=Т, а

Р(3,5)=F. ▲

Правильно побудована формула логіки предикатів визначається так:

1.Атомарна формула є формулою.

2.Якщо Р та Q формули, то і ( Р), (Р Q), (P Q), (P~Q) , (P Q), (P Q) теж формули.

13

3.Якщо Р формула, а х – змінна у формулі, то хР та хР теж формули (квантори розглянуті в наступному розділі).

4.Формули отримуються лише скінченною кількістю застосувань правил

1-3.

Квантори та квантифікація предикатів

Існує інший спосіб перетворення предиката у формулу – квантифікація. Для цього використовуються спеціальні символи – квантори:

1.квантор загальності – («для всіх»);

2.квантор існування – («існує»);

3.квантор існування і єдності – ! («існує єдиний»).

Якщо D={a1, a2, ..., an} – скінченна предметна область змінної x у предикаті P(x), то можна скористатися логічними еквівалентностями

xP(x)=P(a1) P(a2) ... P(an) та xP(x)=P(a1) P(a2) ... P(an). У

такому разі заперечення квантифікованої формули дає той самий результат, що й застосування відповідного закону де Моргана. Це випливає з того, що

( xP(x))= (P(a1) P(a2) ... P(an))= P(a1 ) P(a2 ) ... P(an ) , а це у свою чергу, еквівалентне x= P(x) .

Аналогічно,

( xP(x))= (P(a1) P(a2) ... P(an))= P(a1) P(a2 ) ... P(an ) ,

що еквівалентно xP(x) .

Приклад 5.3. Нехай х – змінна, визначена на множині людей (D), а Р(х) – предикат «x – смертна». Задати словесне формулювання предикатної формули хР(х).

Формула хР(х) означає «всі люди смертні». Вона не залежить від змінної х, а лише характеризує всіх людей в цілому. ▲

Приклад 5.4. Нехай х – змінна, визначена на множині натуральних чисел (D), а Р(х) – предикат «x – парне число». Задати словесне формулювання предикатної формули хР(х) та визначити його істинність.

Формула хР(х) означає «в множині натуральних чисел існує парне число». Множина натуральних чисел містить парні, тому дане висловлювання істинне. ▲

Приклад 5.5. Нехай Р(х,у) – предикат «х любить у» на множині людей (D). Розглянути всі варіанти використання кванторів для обох змінних. Задати словесну інтерпретацію отриманим висловлюванням.

14

Випадок 1. х у Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «для будьякої людини х існує людина у, яку вона любить» або «будь-яка людина когось любить»(рис.5.1).

Рис.5.1. х у Р(х,у)

Випадок 2. у х Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «існує людина у, яку любить будь-яка людина х» (рис.5.2).

Рис 5.2. у х Р(х,у).

Випадок 3. х у Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «всі люди х люблять всіх людей у» (рис.5.3).

Рис.5.3. х у Р(х,у).

Випадок 4. х у Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «існує людина х, яка любить людину у» (рис.5.5).

Рис.5.4. х у Р(х,у).

Випадок 5. х у Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «існує людина х, яка любить всіх людей у» (рис.5.5).

Рис.5.5. х у Р(х,у).

15

Випадок 6. у х Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «для будьякої людини у існує людина х, яка її любить» або «кожну людину хтось любить» (рис.5.6).

Рис.5.6. у х Р(х,у).

Із даного прикладу видно, що від перестановки кванторів загальності та існування змінюється суть висловлювання. ▲

Приклад 5.6. Позначимо речення «x – просте число» як P(x), «x – раціональне число‖ – як Q(x), «x – дійсне число» — як R(x) та „x менше y‖ – як МЕНШЕ(x, y). Розглянемо такі істинні твердження:

1.Кожне раціональне число дійсне.

2.Існує просте число.

3.Для кожного числа x існує таке число y, що x < y. Наведені речення можна записати такими формулами.

1.x (Q(x) → R(x)).

2.x P(x).

3.x y МЕНШЕ(x,y). ▲

Означення 5.6. Перехід від P(x) до xP(x) або xP(x) називають зв’язуванням предметної змінної x, а саму змінну x – зв’язаною. Незв’язану змінну називають вільною. У виразах xP(x) та xP(x) предикат P(x) належить області дії відповідного квантора.

Приклад 5.7. Запишемо речення «Кожний студент групи вивчав дискретну математику» за допомогою предикатів і кванторів. Спочатку перепишемо речення так, щоб було зрозуміло, як краще розставити квантори: «Про кожного студента групи відомо, що цей студент вивчав дискретну математику». Тепер уведемо змінну x і речення набере вигляду: «Про кожного студента x групи відомо, що x вивчав дискретну математику». Уведемо предикат C(x): «x вивчав дискретну математику». Якщо предметна область змінної x – усі студенти групи, то можна записати задане речення як xС(x). Є й інші коректні подання з різними предметними областями та предикатами. Зокрема, можна вважати, що нас цікавлять інші групи людей, окрім тих, які вчаться в одній академічній групі. Узявши як предметну область усіх людей, можна записати задане речення так: «Для кожної особи x, якщо ця особа x – студент групи, то x вивчав дискретну математику». Якщо предикат S(x) має вигляд «Особа x вчиться в групі», то задане речення треба записати у вигляді x(S(x)→C(x)). Зауважимо, що задане речення не можна записати як x(S(x) C(x)), бо тоді це означало б, що всі особи

16

з предметної області вчаться в групі та вивчали дискретну математику.

▲

Приклад 5.8. Запишемо речення «Хтось зі студентів групи відвідав Париж» за допомогою предикатів і кванторів. Це речення аналогічне реченню «У групі є студенти(принаймі один), які відвідали Париж». Якщо ввести змінну x, то задане речення можна переписати так: «У групі є такий студент x, що x відвідав Париж». Уведемо предикат M(x), який відповідає реченню «x відвідав Париж». Якщо предметна область змінної x складається тільки зі студентів певної групи, то можна записати це речення як xM(x).

Якщо ж нас цікавлять інші особи, окрім студентів зазначеної групи, то перше із запропонованих речень матиме інший вигляд: «Є така особа x, що x – студент групи й x відвідав Париж». У такому разі предметна область складається з усіх можливих людей. Нехай S(x): «x – студент групи». Тоді речення має такий вигляд: x(S(x) M(x)), бо воно містить повідомлення про те, що хтось – студент групи та відвідав Париж. Це речення не можна подати формулою x(S(x)→M(x)), оскільки вона істинна навіть тоді, коли особа x – не студент групи. ▲

Приклад 5.9. Подамо формулу x(C(x) y(C(y) F(x,y))) словами, якщо C(x) означає «x має комп’ютер», F(x,y) – «x та y – друзі», а предметна область для x і для y – усі студенти певного курсу. Зміст формули можна записати так: «Кожний студент курсу має комп’ютер або друга, у якого є комп’ютер». ▲

Приклад 5.10. Запишемо формулою логіки предикатів речення «Сума двох додатних чисел – додатнє число». Спочатку перепишемо це речення так: «Два довільні додатні числа дають у сумі додатнє число». Уведемо змінні x та y і отримаємо речення: «Будь-які додатні числа x та y утворюють суму x+y, яка являє собою додатнє число». Запишемо його формулою x у(((x>0) (y>0))→(x+y>0)). Тут предметна область кожної змінної – усі дійсні числа. ▲

6. Закони логіки першого ступеня

Основні закони логіки першого ступеня (логіки предикатів):

1.( xP(x))= xP(x) .

2.( xP(x))= xP(x) .

3.x(P(x) Q(x))= xP(x) xQ(x).

4.x(P(x) Q(x))= xP(x) xQ(x).

5.x(P(x) Q)= xP(x) Q.

6.x(P(x) Q)= xP(x) Q.

7.x(P(x) Q)= xP(x) Q.

17

8.x(P(x) Q)= xP(x) Q.

9.x yP(x,y)= y xP(x).

10.x yP(x,y)= y xP(x).

Закони 1-2 дозволяють будувати заперечення формул з кванторами. Наприклад, x y(P(x) Q(x,y))= x y(P(x) Q(x, y)) .

Закони 3-4 виражають закони дистрибутивності квантора загальності відносно кон’юнкції та квантора існування відносно диз’юнкції.

Закони 5-8 дозволяють виносити за межі дії квантора, що зв’язує змінну х та формулу, яка не містить х.

Закони 9-10 свідчать про комутативність однойменних кванторів. Тобто однойменні квантори можна міняти місцями, а різнойменні – ні.

Потрібно зауважити, що у наведених формулах вказані лише зв’язані змінні і не вказані вільні змінні, що можуть набувати довільні значення із предметної області.

7. Випереджена нормальна форма

Означення 7.1. Випереджена нормальна форма – формула,

записана у вигляді Q1x1Q2x2...QnxnM, де кожне Qixi (i = 1,2,...,n) – це xi або xi, а формула M не містить кванторів. Вираз Q1x1...Qnxn називають префіксом, а M – матрицею формули, записаної у випередженій нормальній формі.

Приклад 7.1. Наведемо приклади формул, записаних у випередженій нормальній формі.

1.x y(P(x,y) Q(y)).

2.x y(P(x) Q(y)).

3.x y z(Q(x,y) R(z)).

4.x y z u(P(x,z) P(y,z) Q(x,y,u)). ▲

Для того, щоб перевести формулу у випереджену нормальну форму, необхідно виконати наступні перетворення:

1. Використати правила усунення імплікації (P Q= P Q) та еквівалентності (P~Q=(P Q) (Q P) ).

2.Застосувати закон подвійного заперечення ( P P ) та закони де Моргана ( P Q P Q, P Q P Q ).

3.Застосувати закони: ( xP(x))= xP(x) та ( xP(x))= xP(x) .

4.Застосувати закони логіки першого ступеня 3-8.

5.Винести квантори у префікс, для чого скористатись законами логіки першого ступеня 3-8.

18

Приклад 7.2. Зведемо формулу xP(x)→ уQ(y) до випередженої нормальної форми за умови, що предикати P(x) і Q(y) не містять вільних змінних. Кроки для побудови випередженої нормальної форми:

1. Вилучення імплікації:

xP(x)→ уQ(y)= ( xP(x)) уQ(y).

2.Застосування закону ( xP(x))= xP(x) :

( xP(x)) уQ(y)= xP(x) )) уQ(y).

3.Винесення квантора існування у префікс:

xP(x) )) уQ(y) = х у( P(x) Q(y)). ▲

Приклад 7.3. Зведемо формулу x y( zP(x,z) P(y,z)) uQ(x,y,u))

до випередженої нормальної форми. Кроки для побудови випередженої нормальної форми:

1. Вилучення імплікації:

x y( zP(x,z) P(y,z)) uQ(x,y,u))=x y( ( zP(x,z) P(y,z))) uQ(x,y,u)).

2. Застосування закону ( xP(x))= xP(x) та закону де Моргана:

x y( ( zP(x,z) P(y,z))) uQ(x,y,u))=x y( z P (x,z) P (y,z)) uQ(x,y,u)).

3.Використання законів логіки першого ступеня 6-7 та винесення квантора існування у префікс:

x y( z P (x,z) P (y,z)) uQ(x,y,u))=

x y z u( P (x,z) P (y,z) uQ(x,y,u)). ▲

19

8.Завдання до виконання

1.Формалізувати речення.

а) Я піду додому або залишуся тут і вип'ю чашку чаю, я не піду додому,отже я залишуся і вип'ю чашку чаю.

б) Якщо Олег ляже сьогодні пізно, він буде вранці в отупінні, якщо він ляже не пізно, то йому здаватиметься, що не варто жити, отже або Олег буде завтра в отупінні, або йому здаватиметься, що не варто жити.

в) Заперечення диз’юнкції двох висловлювань еквівалентно кон’юнкції заперечень кожного з цих висловлювань.

г) Якщо 2 – просте число, то це найменше просте число, якщо 2

– найменше просте число, то 1 не є прости числом; число 1 не є простим числом, отже 2 – просте число.

д) Ігор або втомився, або хворий, якщо він втомився, то він злий; він не злий, отже, він хворий.

е) Якщо завтра буде холодно, я одягну тепле пальто, якщо рукав буде полагоджений; завтра буде холодно, а рукав не буде полагоджений, отже, я не одягну тепле пальто.

ж) Ні Північ, ні Південь не перемогли в громадянській війні. з) Людину не підкуплять лестощі, якщо розум у людини є. и) Іван прийде на іспит і він або Сергій отримає п’ятірку.

к) Якщо не можеш визнати похвали заслуженими, то вважай їх лестощами.

3.Побудовою таблиць істинності вияснити чи є тавтологіями висловлювання а – д:

20