МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Основи логіки методичні вказівки
до виконання практичних занять
з дисципліни „Комп’ютерна дискретна математика”
для студентів базового напряму
„Програмна інженерія”
|
|
Затверджено на засіданні кафедри програмного забезпечення Протокол № 14 від 18.04.2013 р. |
Львів – 2013
Основи логіки. :Методичні вказівки до виконання практичних занять з дисципліни „Комп’ютерна дискретна математика” для студентів базового напряму „Програмна інженерія” / Укл.: П. В. Сердюк, О.О. Нитребич. – Львів: Видавництво Національного університету „Львівська політехніка”, 2013. – 28с.
Укладачі
Сердюк. П. В., к. т. н., доц. кафедри програмного забезпеченння національного університету“Львівська політехніка”
Нитребич О. О., асист. кафедри програмного забезпеченння національного університету“Львівська політехніка”
Відповідальний за випуск
Федасюк Д. В., д-р тех. наук, проф., завідувач кафедри програмного забезпечення, проректор з науково-педагогічної роботи національного університету “Львівська політехніка”
Рецензенти
Гавриш В. І., к.ф.-м.н., доц. кафедри програмного забезпеченння національного університету “Львівська політехніка”
Огородник Н. П., к.ф.-м.н., асис. кафедри теорії оптимальних процесів Львівського національного університету ім. І. Франка
Зміст
1. Вступ 4
2. Логіка висловлювань 4
3. Закони логіки висловлювань 9
4. Способи доведення логічних тверджень 10
5. Логіка предикатів 13
6. Закони логіки першого ступеня 17
7. Випереджена нормальна форма 18
8. Завдання до виконання 20
9. Контрольні запитання. 26
Основи логіки
Мета роботи:Ознайомитись на практиці із основними поняттями та законами логіки висловлювань, навчитись доводити логічні твердження шляхом побудови таблиць істинності і використовувати закони логіки.
Теоретичні відомості
1. Вступ
Логіка – наука про правильні міркування, про прийоми та методи пізнання за допомогою міркувань. Слово «логіка» походить з давньогрецького «logos» – «поняття», «розум», «міркування». Логіка як наука про правильні міркування була закладена у Стародавній Греції Аристотелем та на протязі багатьох століть розвивалась як частина філософії. Починаючи із середини вісімсотих років минулого тисячоліття логіка стає предметом дослідження математики, а після появи ЕОМ – і інформатики. На сьогоднішній день розрізняють формальну логіку, яка вивчає правила логічного виведення і аналізу та неформальну логіку, яка займається вивченням арґументації у природній мові. Формальна логіка, в свою чергу, містить багато інших логічних систем: логіку висловлювань, предикатну логіку, модальну логіку, темпоральну логіку та ін.
2. Логіка висловлювань
Означення 2.1. Висловлювання – розповідне речення, про яке можна сказати, що воно хибне або істинне, але не те й інше водночас.
Приклад 2.1.
Львів – обласний центр Волинської області.
2+3=5.
х+2=5.
Сиди спокійно!
Перші два речення є висловлювання, а останні два – ні. З курсу географії відомо, що перше речення хибне, а з арифметики зрозуміло, що друге – істинне. Третє речення, в залежності від значення змінної х,набуває значення хибності або істинності, а четверте речення не є розповідним. ▲
Означення 2.2. Істина або хибність, яка приписана деякому висловленню, називаєтьсяістиннісним значеннямцього висловлення. Позначення:
«Істина» –Т, І, True або 1;
«Хибність» – F, Х, False або 0.
У цих методичних вказівках ми будемо використовувати позначення T для істини іF для хибності.
Означення 2.3.Атомарна формула (атом) – елементарне неподільне висловлювання. Множина усіх атомів складаєпропозиційну сигнатуру, тобто множину всіх висловлювань, якими ми оперуємо в контексті даної задачі. Атоми позначають малими латинськими буквами.
Приклад 2.2
Падає дощ – атом.
Я отримав гарну оцінку – атом.
Я забув вивчити логіку і отримав двійку. Якщо пропозиційна сигнатура містить два висловлювання: «я забув вивчити логіку», « я отримав двійку», то це висловлювання не буде атомом.
Логічні зв’язки
Розглянемо основні логічні зв’язки:
запереченнявисловлюванняp, його позначаютьp (або
)
та виражають сполучником «не»;
висловлювання p є істинним лише у випадку, коли p хибне;
кон’юнкціядвох висловлюваньpтаq, її позначають p&q абоpq та виражають сполучником «і»;
висловлювання pq вважається істинним тоді й лише тоді, коли такими є p та q;
диз’юнкція двох висловлюваньpтаq, її позначають pq та виражають сполучником «або»;
висловлювання pq є істинним тоді й лише тоді,коли таким є принаймні одне з висловлювань p чи q;
альтернативне «або»двох висловлюваньpтаq, його позначають pq;
висловлювання pq є істинним тоді й лише тоді, коли p та q мають різні логічні значення, і хибним у протилежному випадку;
імплікаціядвох висловлюваньpтаq, її позначаютьpq та виражають сполучником «… достатньо для …» «якщо…то…»,;
висловлювання pq є хибним лише у випадку, коли p істинне, а q хибне;
еквівалентністьдвох висловлюваньpтаq, її позначаютьpq та виражають сполучником «тоді й лише тоді»;
висловлювання p~q є істинним лише у випадку, коли p та q мають однакові логічні значення, і хибним у протилежному випадку.
Приклад 2.3. Розглянемо висловлювання:
Я отримав оцінку «відмінно» і мав хороший настрій.
Сьогодні весело або падає дощ.
У першому прикладі складне висловлювання утворене з використанням логічної зв’язки – кон’юнкції («і») та атомарних формул: «я отримав оцінку «відмінно»», «я мав хороший настрій».
У другому прикладі складна формула складається з атомів «сьогодні весело», «падає дощ» та диз’юнкції («або»). ▲
Для того, щоб визначити значення істинності формули, зручно використовувати таблиці істинності, що отримують значення істинності формул за значеннями істинності атомарних формул у цих формулах.
Приклад 2.4. Таблиця істинності семантики введених логічних зв’язок:
Таблиця 2.1
Таблиця істинності логічних зв’язок
|
p |
q |
pq |
pq |
pq |
p |
pq |
p~q |
|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
|
T |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
F |
|
F |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
|
F |
F |
F |
F |
F |
T |
T |
T |
!Увага. Логічну зв’язку імплікацію варто розглядати як умову достатності. Розглянемо висловлювання pq, де p – висловлювання “падає дощ”, а q – “трава мокра”. Трава може бути мокрою із різних причин – через опади роси або полита водою. Тобто можуть бути ситуації, коли трава мокра, але дощ не падає. Тому дощ є лише достатньою умовою для того, щоб трава були мокра (але не необхідною). Якщо подивитись значення істинності pq у таблиці вище, то очевидно, що тільки висловлювання “падає дощ і трава не мокра” є хибним. Усі решта висловлювання є істинними, тому що теоретично вони можливі: “Не йде дощ і трава не мокра”, “Йде дощ і трава мокра”, “Не йде дощ і трава мокра” (трава може бути полита водою). Часто імплікацію плутають з еквівалентністю у розмовних реченнях: “Якщо я здам іспити на “відмінно”, то мені куплять велосипед”. Якщо велосипед куплять лише у випадку, коли іспити будуть здані на відмінно, то атоми « я здам іспити на “відмінно”» та «мені куплять велосипед» насправді зв’язані еквівалетністю (мені куплять велосипед тоді і тільки тоді, коли іспити будуть здані на відмінно), а якщо велосипед може бути куплений і без таких значних досягнень, то це зв’язка імплікації.
Заперечення є одномісною (унарною) зв’язкою, а кон’юнкція, диз’юнкція, альтернативне «або», імплікація, еквівалентність є двомісними (бінарними) зв’язками.
Означення 2.4.Формула – це атомарна формула або складне висловлювання, отримане об’єднанням декількох атомарних формул за допомогою логічних зв’язок (логічних операцій).
Приклад 2.5. Записати у вигляді формули висловлювання: «Якщо я пізно ляжу спати, то просплю і запізнюсь на роботу».
Розглянемо атоми цієї формули, які позначимо:
p: «я пізно ляжу спати»;
q: «я просплю»;
r: «запізнюсь на роботу».
Отже, формула запишеться як p(qr). ▲
Правила побудови формули визначаються таким чином:
Атомарна формула є формулою.
Якщо рформула, то і (р) теж формула.
Якщо ртаqформули, то і (рq), (рq), (р~q), (рq), (рq) теж формули.
Формули отримуються лише скінченною кількістю застосувань правил 1-3.
Приклад 2.6. Вирази (pq)r,(рq)q,(рq) – формули.
Вирази (p), (q),(pq)– не є формулами.▲
Означення 2.5. Інтерпретація формули – це набір значень істинності (T або F) всіх атомів у заданій формулі.
Для того, щоб знайти значення істинності складного висловлювання для певної інтерпретації, необхідно підставити відповідні значення істинності для всіх атомів цієї інтепретації та спростити її.
Означення 2.6. n-місна формула – це формула, що містить n атомів.
n-місна формула має 2n інтерпретацій, тобто існує 2n способів надати значення істинності її атомам.
Приклад 2.7. Нехай маємо формулу ((pq))~(p(q))). Атомарними формулами тут є p, q. Отже, формула має 22=4 інтерпретації.
Якщо ми маємо ((pq)r)~(s(q)p)). Атомарними формулами тут є p, q, r, s. Отже, формула має 24=16 інтерпретацій.
Означення 2.7. Виконана формула – це формула, яка має принаймні одну інтерпретацію, у якій вона набуває значення істинності.
Означення 2.8. Тавтологія – формула, що виконується у всіх інтерпретаціях.
Означення 2.9. Протиріччя – формула, що не виконується у жодній інтерпретації.
В інших випадках формула називається ані істинною, ані хибною.
Приклад 2.8. Розглянемо формулу ((pq)(pr))~(q). Атомарними формулами тут є p, q, r. Формула має 23=8 інтерпретацій. Значення істинності заданої формули наведено в таблиці 2.2.
Таблиця 2.2
|
p |
q |
r |
(pq) |
(pr) |
((pq)(pr)) |
q |
((pq)(pr))~(q) |
|
T |
T |
F |
T |
T |
T |
F |
F |
|
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
|
T |
F |
F |
F |
T |
F |
T |
F |
|
T |
F |
T |
F |
T |
F |
T |
F |
|
F |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
|
F |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
|
F |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
F |
|
F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
Приклад 2.9. Розглянемо формулу ((p)(pq)). Атомарними формулами тут є p, q. Формула має 22=4 інтерпретації. Значення істинності заданої формули наведено в таблиці 2.3. Задана формула істинна у всіх інтерпретаціях, отже, це тавтологія.
Таблиця 2.3
|
p |
Q |
p |
pq |
(p)(pq) |
|
T |
T |
F |
T |
T |
|
T |
F |
F |
F |
T |
|
F |
T |
T |
T |
T |
|
F |
F |
T |
T |
T |
Приклад 2.10. Розглянемо формулу (p((qq)). Атомарними формулами тут є p, q. Формула має 22=4 інтерпретації. Значення істинності заданої формули наведено в таблиці 2.4. Задана формула хибна у всіх інтерпретаціях, отже, це протиріччя.
Таблиця 2.4
|
p |
Q |
qq |
(qq) |
p((qq) |
|
T |
T |
T |
F |
F |
|
T |
F |
T |
F |
F |
|
F |
T |
T |
F |
F |
|
F |
F |
F |
T |
F |
Означення 2.10. Змінна називається фіктивною, якщо значення формул не залежить від значення цієї змінної.
Тобто
змінна
функції
є фіктивною, якщо
для довільнихx1,…,xn
.
Означення 2.11. Якщо змінна не є фіктивною, то вона називається значимою.
Приклад
2.11. Вказати,
які змінні у
формулі
фіктивні,
а які – ні.
Складемо таблицю істинності:
|
p |
q |
r |
(pq) |
|
|
|
|
T |
T |
F |
T |
T |
F |
T |
|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
|
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
|
T |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
|
F |
T |
F |
T |
T |
F |
T |
|
F |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
|
F |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
|
F |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
Отже, як видно з таблиці, значення змінної r не впливає на значення формули, тому вона є фіктивною змінною. Відповідно змінні p, q є значимі.