Мат. аналіз (лекції)

121

5. Якщо функцiя f неперервна на [a; b], òî iñíó¹ òàêå µ 2 [a; b], ùî

Zb

f(x) dx = f(µ)(b ¡ a):

a

Теорема 16.1. Якщо функцiя f обмежена на [a; b] i неперервна всю-

ди, крiм скiнченно¨ множини точок, то вона iнтегрована за Рiманом на

[a; b].

16.4. Властивостi iнтеграла як функцi¨ верхньо¨ межi

Нехай функцiя f неперервна на [a; b]. Покладемо

(òóò µ деяка точка сегментa [x; x + ¢x].)

Теорема 16.2. Iнтегрована за Рiманом функцiя f ма¹ первiсну. Нею, зокрема, ¹ функцiя '.

122

16.5. Формула Ньютона-Лейбнiца

Теорема 16.3. Нехай функцiя f iнтегрована за Рiманом i G ¨¨ ïåðâiñíà. Òîäi

Ця формула назива¹ться основною формулою iнтегрального чи- слення, або формулою Ньютона-Лейбнiца.

Доведення. Ми зна¹мо, що '(x) = Rx f(t) dt ïåðâiñíà.

a

Zb

f(x) dx = '(b) = '(b) ¡ '(a):

a

Òîäi G(x) = '(x) + C (двi первiснi вiдрiзняються на константу).

G(b) ¡ G(a) = '(b) ¡ C ¡ ('(a) ¡ C) = '(b) ¡ '(a):

¤

16.6. Замiна змiнно¨ та iнтегрування частинами у визначе- них iнтегралах

Теорема 16.4. Нехай функцiя f неперервна на [a; b], ' неперервна i ма¹ неперервну похiдну на [®; ¯], '(®) = a, '(¯) = b. Òîäi

Zb Z¯

f(x) dx = f('(t)) ¢ '0(t) dt:

a®

Приклад.

3. Нехай крива r = f('), ® · ' · ¯, задана у полярнiй системi координат. Площа сектора D, обмеженого променями ' = ® òà ' = ¯ i кривою r = f(') обчислю¹ться за формулою

126

Приклад. Обчислимо площу лемнiскати r = apcos 2'.

17.2.Обчислення довжини дуги криво¨

17.2.1.Довжина дуги криво¨ в прямокутних координатах.

6

¢yi

Нехай крива l задана рiвнянням y = f(x), äå x 2 [a; b]. Нехай

x0 = a; x1; : : : ; xn = b

розбиття сегмента [a; b]. Позначимо 4xi = xi ¡ xi¡1, 4yi = f(xi) ¡ f(xi¡1). Позначимо Mi = (xi; f(xi)), i = 1; 2; : : : ; n точки криво¨ l. З'¹днавши цi точки послiдовно, ми отрима¹мо ламану M1M2 : : : Mn , вписану в криву l. Âiäðiçîê Mi¡1Mi назива¹ться ланкою ламано¨. 4si

4si = p(4xi)2 + (4yi)2 = s1 + µ4yi ¶24xi:

4xi

Означення 17.1. Якщо iсну¹ границя довжин всiх ламаних, вписаних в криву l, при умовi, що максимальна довжина ланок пряму¹ до

нуля, то ця границя назива¹ться довжиною криво¨ l. Крива l назива¹ться

кривою скiнченно¨ довжини.

128

просторова параметрично задана крива. Припустимо, що x(t), y(t), z(t)

неперервнi функцi¨, якi мають неперервнi першi похiднi. Тодi довжина

17.2.3. Довжина дуги криво¨ в полярнiй системi координат.

Нехай в полярнiй системi координат крива задана рiвнянням r = r('), ' 2 ['1; '2]. Тодi довжина дуги криво¨ обчислю¹ться за формулою:

Приклад. Знайти довжину кардiо¨ди r = a(1 + cos ').

129

17.3. Обчислення об'¹мiв тiл за площами поперечних перерiзiв

Нехай ма¹мо тiло T , проекцi¹ю якого на вiсь Ox ¹ âiäðiçîê [a; b]. Позначимо через Q(x0) площу перерiзу тiла T площиною x = x0, x0 2

17.4. Об'¹м тiла обертання

Нехай тiло T утворене обертанням графiка неперервно¨ невiд'¹мно¨ функцi¨ f : [a; b] ! R навколо осi Ox. Очевидно, що Q(x) = ¼f2(x). Òîìó

130

¯

¯