3. Мінімізація логічних функцій за допомогою карт Карно

В 1953 році Моріс Карно запропонував систему графічного представлення (карти Карно) й спрощення булевих виразів. При мінімізації логічних функцій в карті Карно обводять прямокутними контурами всі одиниці й далі записують мінімізовану функцію у вигляді суми логічних добутків, які описують ці контури.

При проведенні контурів притримуються правил:

1. контур повинний бути прямокутним;

2. всередині контуру повинні бути тільки клітини, заповненні одиницями;

3. число клітин, які знаходиться всередині контуру, повинно бути цілою степеню числа 2, тобто можна об’єднувати 1, 2, 4, 8,...,2^к членів;

4. одні й ті ж клітини, заповнені одиницями, можуть входити в декілька контурів, тобто контури можуть пересікатись;

5. при проведенні контурів самий нижній й самий верхній рядки таблиці вважаються сусідніми, теж само - для крайнього лівого й крайнього правого стовпців;

6. число контурів повинно бути як можна меншим, а самі контури як можна більшими.

7. Кожен член МДНФ містить лиш ті аргументи, які для кожного контура мають значення або без інверсії або з інверсією.

8. Число кон’юнктивних членів в МДНФ рівне сумі об’єднань клітин.

Приклад. Логічна функція задана табл.7.

Таблиця істинності. Таблиця 7.

x1	x2	f
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Знайти ДДНФ функції і провести мінімізацію за допомогою карти Карно.

Розв’язок: 1. Знаходять мінтерми:

x1	x2	mi	f
0	0		1
0	1		1
1	0		0
1	1		1

2. Логічна функція в формі ДДНФ:

.

3. Карта Карно логічної функції (рис.1.)

x1 x2	0	1
0	1
1	1	1

Рис.1. Карта Карно логічної функції

4. Одержуємо МДНФ функції

.

Чим більше клітин (2^к ) входить в об’єднання, тим менше змінних - z входить в відповідний кон’юнктивний член, тобто простіша МДНФ.

z = n – k ,

де n – загальна кількість аргументів функції.

Процес отримання алгебраїчного виразу логічної функції, представленої на карті Карно, зводиться до зчитування об’єднань клітин. При цьому кожне об’єднання клітин зчитують в виді кон’юнктивного члена, в який входять змінні або їх інверсії, спільні для всіх мінтермів, відповідно цим клітинам.

Необ’єднані клітки зчитують в виді записаних в них мінтермів.

Приклад. Провести мінімізацію логічної функції, заданої в формі ДДНФ, за допомогою карти Карно (рис.2.).

x1x2 x3	00	01	11	10
0	1	1
1	1	1	1

Рис.2. Карта Карно.

Розв’язок. За допомогою перетворень, які виконуються за законами булевої алгебри, й з врахуванням об’єднаних на карті Карно клітин, отримують мінімізоване представлення (МДНФ) логічної функції:

;

,

.

В даному прикладі двом клітинам першого об’єднання відповідають мінтерми, які мають дві спільні змінні

.

Тому диз’юнкція цих мінтермів рівна цим двом спільним змінним: .

Чотирьом клітинам другого об’єднання відповідають мінтерми, які мають одну спільну змінну :

Диз’юнкція цих мінтермів також рівна спільній змінній .

Приклад. Мінімізувати за допомогою карти Карно (рис.3.) логічну функцію, задану в формі ДДНФ:

x1x2 x3	00	01	11	10
0			1
1		1	1	1

Рис.3. Карта Карно

Розв’язок: МДНФ функції:

.

Приклад . Мінімізувати за допомогою карти Карно (рис.4.) задану в формі ДДНФ логічну функцію:

.

x1x2 x3	00	01	11	10
0	1	1	1	1
1		1		1

Рис.4. Карта Карно:

Розв’язок: МДНФ функції: