2. Аналітичний метод мінімізації логічних функцій (метод Квайна)

Метод Квайна базується на застосуванні основних законів булевої алгебри.

2.1.Алгоритм одержання МДНФ (мінімальної диз’юнктивної нормальної форми) логічної функції:

1. Логічна функція представляється в ДДНФ. Причому, якщо вона задана таблицею істинності, то представляють функцію через записи “за одиницями”.

2. В одержаній ДДНФ проводять всі можливі операції неповного склеювання і потім поглинання.

w x + w x’ = w (x+x’) = w ( операція склеювання );

w + w z = w (1+z) = w ( операція поглинання ).

В результаті отримують скорочену диз’юнктивну нормальну форму (СДНФ), тобто диз’юнкцію самих коротких з всіх можливих елементарних добутків (прості імпліканти), які входять в дану логічну функцію.

3. Знаходять мінімальні диз’юнктивні нормальні форми за імплікантною матрицею.

Імплікантна матриця - це таблиця, на вертикальні й горизонтальні входи якої записують відповідно член ДДНФ и прості імпліканти з СДНФ заданої логічної функції.

Клітини імплікантної матриці, утворені на перехресті рядків з імплікантами та стовпців з членами СДНФ, відмічають хрестиками.

МДНФ знаходять як диз’юнкцію мінімального числа імплікант, які сумісно накривають хрестиками все колонки імплікантної матриці.

Приклад . Мінімізувати логічну функцію:

Розв’язок: 1. Функція задана в алгебраїчній формі, застосовуємо операції розгортання

для одержання ДДНФ, яка містить шість членів:

2. Операції склеювання проводять в наступному порядку:

1. виконуються всі можливі склеювання 1-ого члена з рештою;

2. виконуються всі можливі склеювання 2-ого члена з рештою, крім 1-ого;

3. виконуються всі можливі склеювання 3-ого члена з рештою, крім 1-ого и другого і т.д.

Склеюватися можуть тільки ті члени, у яких число змінних з запереченням відрізняється на одиницю. Результати склеювання й поглинання:

Зірочками відмічають ті члени ДДНФ, які поглинаються добутками, що утворились після склеювання.

В даному прикладі поглинаються всі шість початкових членів, тому ДДНФ заданої функції має вид:

До цього виразу операції склеювання й поглинання застосувати вже не можна, відповідно, вираз являється скороченою диз’юнктивною нормальною формою логічної функції, а його члени - простими імплікантами.

3. Формують для заданої функції імплікантну матрицю (табл.3)

Таблиця 3. Імплікантна матриця.

Прості	Члени СДНФ
імпліканти (мінтерми)
	1	2	3	4	5	6
	X	X
		X	X
			X	X
				X	X
					X	X

Для отримання МДНФ необхідно знайти мінімальне число імплікант, які сумісно накривають хрестиками всі стовпці імплікантної матриці:

Складність логічної функції визначається числом змінних, що входять у її вираз: в заданій функції 14, в мінімальній - 9.

2.2. Перший алгоритм одержання МКНФ (мінімальної кон’юнктивної нормальної форми) логічної функції:

1. Логічну функцію представляють в ДКНФ. Якщо вона задана таблицею істинності, то її записують “за нулями”; якщо вона задана алгебраїчно в довільній кон’юнктивній формі, то для запису в СКНФ виконують всі можливі операції розгортування.

2. В отриманій СКНФ виконують всі можливі операції неповного склеювання і далі поглинання. В результаті отримують скорочену кон’юнктивну нормальну форму, члени якої являються простими макстермами.

3. МКНФ знаходять за макстермною матрицею.

Приклад. Логічна функція задана табл.4.Знайти МКНФ даної функції.

Таблиця істинності. Таблиця 4.

x1	x2	x3	f
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Розв’язок:

1. Виписують задану функцію в СКНФ “по нулям” таблиці істинності:

2. Проводять операції склеювання й поглинання:

В даному прикладі поглинаються всі чотири члена початкового виразу, тому відповідно, СКНФ

3. Макстермна матриця задана табл.5.

Макстермна матриця. Таблица 5.

Прості імпликанти	Члени СКНФ
(макстерми)	1	2	3	4
	X	X
	X			X
			X	X

4. МКНФ логічної функції:

.

2.3. Другий алгоритм одержання МКНФ (мінімальної кон’юнктивної нормальної форми) логічної функції:

1. Логічна функція представляється в ДДНФ для заданої функції, взятої з запереченням.

Якщо функція задана таблицею істинності, то виписують ряд добутків всіх аргументів і з’єднують їх знаками диз’юнкції; кількість добутків повинно бути рівним числу наборів, на яких задана функція переходить в нуль; під кожним добутком записують набір аргументів, на яких функція рівна нулю, і над аргументами, рівними нулю, ставлять знаки заперечення. Якщо функція задана алгебраїчно в довільній формі, то спочатку знаходять її ДДНФ, а далі записують диз’юнкцію всіх добутків аргументів, котрі не ввійшли в ДДНФ. Знаходять МДНФ за розглянутим вище алгоритмом. Від одержаної МДНФ беруть заперечення і, після перетворень за формулами Де Моргана, отримують МКНФ.

Приклад. Знайти МКНФ, функції заданої табл.6.

Таблиця істинності. Таблица 6.

x1	x2	x3	f
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Розв’язок: 1. ДДНФ, взята з запереченням:

2. Результати склеювання й поглинання:

3. МДНФ, взята з запереченням:

4. Взявши від обох частин останньої рівності заперечення й застосувавши формулу Де Моргана, отримують МКНФ логічної функції:

.