Теоретичні засади фільтрування

Швидкість фільтрування. Швидкістю фільтрування W називається кількість фільтрату V, яка проходить через одиницю поверхні фільтра S за одиницю часу τ.

Враховуючи, що в процесі фільтрування швидкість фільтрування в кожний даний момент часу прямо пропорційна різниці тисків і обернено пропорційна в’язкості рідкої фази та загальному гідравлічному опорові шару осаду і фільтрува-льної перегородки, які з часом змінюються, змінну швидкість фільтрування виражають у диференційній формі:

W = , (5.7)

або у відповідності з викладеним основне диференційне рівняння має вигляд

, (5.8)

де V-об’єм фільтрату, м³; S-поверхня фільтрування, м²; τ - тривалість фільтрування, сек.; ΔР - різниця тисків, Па; µ-в’язкість рідкої фази суспензії, Па*с; R_о - опір шару осаду; R_фп- опір фільтрувальної перегородки.

З рівняння (365) слідує, що величини R_о і R_фп мають розмірність м^-1. Опір фільтрувальної перегородки R_фп, нехтуючи деяким його збільшення внаслідок проникнення в пори твердих частинок, можна рахувати приблизно однаковим. Опір осаду R_о із зростанням висоти шару змінюється від нуля на початку фільтрування до максимального значення в кінці процесу.

Позначимо через х_о відношення об’єму осаду до об’єму фільтрату. Тоді об’єм осаду буде дорівнювати х_оV. З іншого боку, об’єм осаду дорівнює h_оS, де h_о-висота шару осаду в м. Таким чином

х_оV = h_оS, (5.9)

звідки товщина шару осаду на фільтрувальній перегородці

h_ос = х_{о .} (5.10)

Позначимо через r_o питомий об’ємний опір шару осаду, м^-2. Тоді опір шару з врахуванням (5.10)

R_о = r_oh_{o c}= r_ox_o. (5.11)

З рівняння (5.11) випливає, що величина r_o характеризує опір потоку рідкої фази шаром осаду товщиною 1 м.

Запишемо рівняння (5.8), підставив у нього значення R_о з (5.11)

. (5.12)

Якщо нехтувати опором фільтрувальної перегородки (R_фп=0) і врахувати (5.10), то з рівняння (5.12) знайдемо

r_о = (5.13)

При µ= 1 Па*с, h_о=1 м і W=1м/с величина r_о= ΔР. Таким чином, питомий опір осаду чисельно дорівнює різниці тисків, необхідної для того, щоби рідка фаза з в’язкістю 1 Па*с фільтрувалась із швидкістю 1 м/с крізь шар осаду товщиною 1 м.

На початку фільтрування, коли на фільтрувальній перегородці ще не утворився шар осаду, об’єм фільтрату V=0. Тоді з рівняння (5.12) отримаємо

R_фп = (5.14)

Якщо прийняти µ=1 Па*с і W=1 м/с, отримаємо величину R_фп=ΔР. З цього випливає, що опір фільтрувальної перегородки чисельно дорівнює різниці тисків, необхідної для того, щоби рідка фаза з в’язкістю 1 Па*с проходила крізь фільтрувальну перегородку із швидкістю 1 м/с. Для ряду фільтрувальних перегородок величина R_фп має порядок 10¹⁰ м^-1.

Як відмічалося раніше, на практиці фільтрування можна проводити або за постійної різниці тисків, або з постійною швидкістю. Відповідно розрізняють режим постійної різниці тисків і режим постійної швидкості.

Рівняння фільтрування при постійній різниці тисків. Для режиму постійної різниці тисків (ΔР = соnst) усі величини, що входять у рівняння (5.12), за винятком V і τ, постійні. Проінтегруємо це рівняння в границях від 0 до V і від 0 до τ:

(5.15)

або

µr_ох_о.

Поділимо обидві частини останнього рівняння на µr_ох_о/2S і остаточно отримаємо

V²+2. (5.16)

Вирішуючи це рівняння відносно V, отримаємо залежність об’єму фільтрату від тривалості фільтрування. Це рівняння можна використовувати, коли осад стисливий і коли не стисливий, оскільки величини r_o і х_о при ΔР = const також постійні.

З рівняння (5.16) випливає, що при ΔР =const із збільшенням об’єму фільтрату, а тим самим, і тривалості фільтрування, швидкість фільтрування зменшується.

Якщо заданий необхідний об’єм фільтрату V, то з рівняння (5.16)

 = (5.17)

Тобто, для режиму фільтрування при постійній різниці тисків тривалість фільтрування пропорційна квадрату об’єму фільтрату.

Рівняння фільтрування при постійній швидкості фільтрування. Для цього режиму маємо

(5.18)

Вирішуючи рівняння (5.12) відносно ΔР, знайдемо

ΔР = µr_ох_оw²τ + µR_фпw. (5.19)

Рівняння (5.19) показує, що для режиму фільтрування з постійною швидкістю різниця тисків зростає із збільшенням тривалості фільтрування.

Рівняння (5.19) можна застосовувати для нестисливих осадів. У випадку використання його для стисливих осадів слід мати на увазі залежність питомого опору осаду від різниці тисків.

. Рівняння фільтрування при постійних різниці тисків і швидкості. Такий режим фільтрування здійснюється в тому випадку, коли чиста рідина фільтрується крізь шар осаду постійної товщини при постійній різниці тисків. Прикладом режиму може бути промивання осаду на фільтрі способом витіснення.

Повернемось до рівняння (5.12). З врахуванням (5.10), і, прийнявши в рівнянні (5.12) замість dV/dτ V/τ =const , за умови ΔР =const знайдемо

V = (5.20)

Це рівняння дає залежність об’єму фільтрату від тривалості фільтрування чистої рідини. Оскільки в розглянутому режимі фільтрування ΔР = const, рівняння (5.20) можна використовувати як для нестисливих , так і для стисливих осадів.

Визначення постійних у рівняннях фільтрування. Під постійними в рівняннях фільтрування (5.16), (5.19) і (5.20) розуміють відношення об’єму осаду до об’єму фільтрату х_о, питомий об’ємний опір осаду r_о й опір фільтрувальної перегородки R_фп. Під час розрахунків процесів фільтрування ці величини знаходять експериментально. На лабораторному фільтрі за умови ΔР =const за певні проміжки часу фіксують об’єм фільтрату, замірюють висоту шару осаду і далі обробляють отримані результати графічним методом. Розглянемо більш детально цей спосіб.

Запишемо рівняння (5.16) у вигляді

, (5.21)

або

(5.22)

де М = (5.23)

N = (5.24)

Рис. 1. До визначення питомого опору осаду

і опору фільтрувальної перегородки

За постійних температури й різниці тисків усі складові, які входять у праві частини рівнянь (5.23) й (5.24), постійні. Тому величини М і N також постійні, і рівняння (5.22) є рівнянням прямої лінії, нахиленої до горизонтальної осі під кутом, тангенс якого дорівнює М, а відрізок по осі ординат, що відсікає пряма, дорівнює N. Для побудови вказаної прямої у координатах V – τ/V наносять ряд точок (рис. 5.1), що відповідають заміряним у дослідах значеннях V і τ. Потім за графіком визначають величини М і N, після чого з виразів (5.23) і (5.24) розраховують r_o і R_фп. Величину х_о знаходять після безпосереднього вимірювання об’ємів осаду й фільтрату.