6. Закони логіки першого ступеня

Основні закони логіки першого ступеня (логіки предикатів):

1. (xP(x))=.

2. (xP(x))=.

3. x(P(x)Q(x))=xP(x)xQ(x).

4. x(P(x)Q(x))= xP(x) xQ(x).

5. x(P(x)Q)=xP(x)Q.

6. x(P(x)Q)=xP(x)Q.

7. x(P(x)Q)= xP(x)Q.

8. x(P(x)Q)= xP(x)Q.

9. xyP(x,y)= yxP(x).

10. xyP(x,y)= yxP(x).

Закони 1-2 дозволяють будувати заперечення формул з кванторами. Наприклад, xy(P(x)Q(x,y))=.

Закони 3-4 виражають закони дистрибутивності квантора загальності  відносно кон’юнкції та квантора існування  відносно диз’юнкції.

Закони 5-8 дозволяють виносити за межі дії квантора, що зв’язує змінну х та формулу, яка не містить х.

Закони 9-10 свідчать про комутативність однойменних кванторів. Тобто однойменні квантори можна міняти місцями, а різнойменні – ні.

Потрібно зауважити, що у наведених формулах вказані лише зв’язані змінні і не вказані вільні змінні, що можуть набувати довільні значення із предметної області.

7. Випереджена нормальна форма

Означення 7.1. Випереджена нормальна форма – формула, записана у вигляді Q₁x₁Q₂x₂...Q_nx_nM, де кожне Q_ix_i (i = 1,2,...,n) –це x_i або x_i, а формула M не містить кванторів. Вираз Q₁x₁...Q_nx_n називають префіксом, а M – матрицею формули, записаної у випередженій нормальній формі.

Приклад 7.1. Наведемо приклади формул, записаних у випередженій нормальній формі.

1. xy(P(x,y)Q(y)).

2. xy(P(x)Q(y)).

3. xyz(Q(x,y)R(z)).

4. xyzu(P(x,z)P(y,z)Q(x,y,u)). ▲

Для того, щоб перевести формулу у випереджену нормальну форму, необхідно виконати наступні перетворення:

1. Використати правила усунення імплікації (PQ=Q) та еквівалентності (P~Q=(PQ)(QP) ).

2. Застосувати закон подвійного заперечення () та закони де Моргана ().

3. Застосувати закони: (xP(x))= та (xP(x))=.

4. Застосувати закони логіки першого ступеня 3-8.

5. Винести квантори у префікс, для чого скористатись законами логіки першого ступеня 3-8.

Приклад 7.2. Зведемо формулу xP(x)→уQ(y) до випередженої нормальної форми за умови, що предикати P(x) і Q(y) не містять вільних змінних. Кроки для побудови випередженої нормальної форми:

1. Вилучення імплікації:

xP(x)→уQ(y)= (xP(x))уQ(y).

2. Застосування закону (xP(x))=:

(xP(x))уQ(y)= ))уQ(y).

3. Винесення квантора існування у префікс:

))уQ(y) =ху(Q(y)). ▲

Приклад 7.3. Зведемо формулу xy(zP(x,z) P(y,z)) uQ(x,y,u)) до випередженої нормальної форми. Кроки для побудови випередженої нормальної форми:

1. Вилучення імплікації:

xy(zP(x,z) P(y,z)) uQ(x,y,u))= xy((zP(x,z)P(y,z)))uQ(x,y,u)).

2. Застосування закону (xP(x))= та закону де Моргана:

xy((zP(x,z)P(y,z)))uQ(x,y,u))= xy(z(x,z)(y,z))uQ(x,y,u)).

3. Використання законів логіки першого ступеня 6-7 та винесення квантора існування у префікс:

xy(z(x,z)(y,z))uQ(x,y,u))= xyzu((x,z)(y,z)uQ(x,y,u)). ▲

8. Завдання до виконання

1. Формалізувати речення.

1. Я піду додому або залишуся тут і вип'ю чашку чаю, я не піду додому,отже я залишуся і вип'ю чашку чаю.

2. Якщо Олег ляже сьогодні пізно, він буде вранці в отупінні, якщо він ляже не пізно, то йому здаватиметься, що не варто жити, отже або Олег буде завтра в отупінні, або йому здаватиметься, що не варто жити.

3. Заперечення диз’юнкції двох висловлювань еквівалентно кон’юнкції заперечень кожного з цих висловлювань.

4. Якщо 2 – просте число, то це найменше просте число, якщо 2 – найменше просте число, то 1 не є прости числом; число 1 не є простим числом, отже 2 – просте число.

5. Ігор або втомився, або хворий, якщо він втомився, то він злий; він не злий, отже, він хворий.

6. Якщо завтра буде холодно, я одягну тепле пальто, якщо рукав буде полагоджений; завтра буде холодно, а рукав не буде полагоджений, отже, я не одягну тепле пальто.

7. Ні Північ, ні Південь не перемогли в громадянській війні.

8. Людину не підкуплять лестощі, якщо розум у людини є.

9. Іван прийде на іспит і він або Сергій отримає п’ятірку.

10. Якщо не можеш визнати похвали заслуженими, то вважай їх лестощами.

2. Побудувати таблицю істинності для висловлювань:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

3. Побудовою таблиць істинності вияснити чи є тавтологіями висловлювання а – д:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

4. Побудовою таблиць істинності вияснити, чи є запереченням висловлювання а – д:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

5. Еквівалентними перетвореннями перевірити, чи є тавтологіями висловлювання а – д:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

6. За означенням без побудови таблиць істинності та виконання еквівалентних перетворень перевірити, чи є тавтологіями висловлювання а – г:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Використовуючи комбінований спосіб визначити, чи є тавтологіями формули а – д:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

8. Які формули є тавтологіями(завжди істинні)?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

9. Які формули є еквівалентними до формули ?

a) ; б);

в) ; г).

10. Які твердження істинні?

а) Формула еквівалентна формулі.

б) Формула еквівалентна формулі.

в) Формула еквівалентна формулі.

11. Зобразити висловлювання виключно за допомогою операційі.

12. Зобразити висловлювання виключно за допомогою операційі.

13. Зобразити висловлювання виключно за допомогою операційі.

14. Зобразити висловлювання виключно за допомогою операційі.

15. Довести, що формули еквівалентні:

1. та;

2. та;

3. та.

16. Перевірити, чи еквівалентні формули:

1. та;

2. та;

3. .

17. Зобразити висловлювання формулою над множиною логічних зв'язок.

17. Зобразити висловлювання формулою над множиною логічних зв'язок.

17. Який із законів дистрибутивності =та=виконується, якщо замінити логічні зв’язки, позначені символами «*» та «», поданими у таблиці:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
*									
			~			~			
	10	11	12	13	14	15	16	17	18
*						~	~	~	~
	~				~				

17. Аналогічно із завданням 19 визначити, для яких логічних зв’язок виконуються закони:

а) асоціативності; б)комутативності;в) ідемпотентності,

д) поглинання;г) закони де Моргана.

17. Виведіть співвідношення для сталих для операцій імплікації, еквівалентності, альтернативного або.

17. Предикат означаєx = x-y. Предметною областю кожної змінної є множина цілих чисел. Знайти значення істинності висловлювань:

а) Q(1,1); б) Q(2,0);

в); г) ;

д) ; е);

є) ; ж);

з) ; и).

17. Предметною областю кожної змінної є множина {1,2,3}. Записати висловлювання логічних зв’язок кон'юнкції та диз'юнкції:

а) ; б);

в) ; г);

д); е).

17. Предикат означає , а предметною областю змінної х є множина цілих чисел. Знайти значення істинності висловлювань а–д:

а) P(1); б) P(2);

в) P(0); г) ;

д) .

17. Побудувати випереджену нормальну форму:

а) ;

б) .

17. Записати заперечення висловлювань а - г формулами логіки

першого ступеня. Записати отримані висловлювання словами:

а) кожний студент групи любить математику;

б) у групі є студент, який ніколи не бачив комп'ютера;

в) у групі є студент, який прослухав усі запропоновані математичні курси;

г) у групі є студент, який відвідав принаймні одну аудиторію кожного з навчальних корпусів університету.

17. Змінні хтаyнабувають значень із множини {0, 1, 2}. Записати формулу, еквівалентну до висловлювань, без використання кванторів:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

17. Позначення відповідає реченню "У предметній області

існує таке єдине х, що Р(х) істинне". Нехай множина цілих чисел є предметною областю змінноїх. Знайти значення істинності формул а - е:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

17. Здана предметна область М={1,2,3} змінної х. Записати висловлювання з допомогою заперечення, кон'юнкції та диз'юнкції.

17. Записати формулу еквівалентну без використання квантора загальності.

17. Змінні хтаyнабувають значень із множини {0, 1, 2}. Записати формулу без використання кванторів, еквівалентну до висловлювання:.

17. Змінні хтаyнабувають значень із множини {1,2,3}. Записати формулу без використання кванторів, еквівалентну до висловлювання:.

17. Змінні хтаyнабувають значень із множини {1,2,3}. Записати формулу без використання кванторів, еквівалентну до висловлювання:.

17. Записати формулу без використання квантору загальності, еквівалентну до висловлювання: .

17. Записати формулу без використання квантору існування, еквівалентну до висловлювання: .