3. Перевірка статистичних гіпотез про закон розподілу випадкової величини

У загальній постановці задача перевірки статистичних гіпотез про закони розподілу випадкової величини формулюється так.

За результатами спостережень отримана статистична оцінка закону розподілу випадкової величини у вигляді емпіричної функції розподілу. Формулюється статистична гіпотеза, яка полягає в тому, що закон розподілу досліджуваної випадкової величинимає вигляд. Для перевірки цієї статистичної гіпотези розглядається статистика критеріюU, що характеризує міру неузгодженості між теоретичною (запропонованої по гіпотезі) і емпіричної функціямирозподілу. Обравши статистику критерію, робимо оцінку її закону розподілу і для заданого рівня значущостібудуємо критичну область.

Якщо вибіркове значення статистики знаходиться поза критичною областю, то гіпотеза, що перевіряється, приймається, якщо ж статистика належить критичні області, то гіпотеза про закон розподілу випадкової величини відхиляється.

При використанні критерію Пірсона за міру неузгодженості U гіпотетичного й емпіричного розподілів приймається величина , обчислена за такою формулою:

, (3.1)

де k – число інтервалів; – частота влучення в інтервал i;– ймовірність попадання випадкової величинив інтервалi, обчислена за гіпотетичним розподілом з заміною невідомих параметрів розподілу їхніми оцінками; n – об’єм вибірки.

Для нормального закону розподілу ймовірність влучення випадкової величини в інтервалвизначається так:

, (3.2)

де – функція Лапласа.

Для показового розподілу ймовірність влучення випадкової величини в інтервалвизначається за формулою:

, (3.3)

а для рівномірного розподілу – за формулою:

. (3.4)

Величина , обчислена за формулою (3.1), при має розподіл "хі- квадрат" із ступенями свободи, де – число невідомих параметрів теоретичного розподілу , визначених по вибірці. Причому, для нормального розподілу, для показового –, а для рівномірного –.

Процедура перевірки статистичної гіпотези про закон розподілу зводиться до наступного.

Для заданого рівня значущості і числа ступенів свободи за таблицями знаходять критичну точку , що визначає нижню межу критичної області.

За вибіркою, використовуючи формулу (3.1), розраховують значення критерію, що спостерігається.

Якщо – гіпотеза відхиляється; якщо– приймається, тобто вважається, що результати вибіркового дослідження не суперечать висунутій гіпотезі.

Для оцінки закону розподілу неперервної випадкової величини у випадку, коли теоретичний закон розподілувизначений із точністю до параметрів розподілу, може використовуватися критерій Колмогорова.

За міру неузгодженості використовується статистика вигляду:

, (3.5)

де – верхня грань модуля різниці емпіричноїі теоретичноїфункцій розподілу, n – об'єм вибірки, тобто

;

Розраховане за формулою (3.2) значення статистики порівнюється з критичною точкою, отриманою з таблиці для заданого рівня значущості. Якщо– гіпотезавідхиляється, якщо– приймається. Це означає, що гіпотетична функція розподілуузгоджується з даними спостережень.

Існує наближене правило застосування критерію Колмогорова, відповідно до якого гіпотеза приймається, якщо.