1.3. Побудова емпіричної функції розподілу

Статистичним аналогом функції розподілу випадкової величини є емпірична функція розподілу , визначена так:

.

Емпірична функція розподілу будується за інтервальним варіаційним рядом відповідно до виразів:

…………………………………….

Точки з координатами наносяться на графік і з'єднуються відрізками прямої. Графічне зображення емпіричної функції розподілу подане на рис.1.2.

Рисунок 1.2 – Емпірична функція розподілу

Аналіз виду статистичних аналогів щільності розподілу і функції розподілувипадкової величинидозволяють висунути гіпотезу про її закон розподілу.

До основних вибіркових характеристик розподілу випадкової величини відносяться статистичні характеристики положення і розсіювання.

1.4. Знаходження характеристик положення випадкової величини

Статистичними характеристиками положення випадкової величини є середнє арифметичне, мода і медіана.

Для інтервального варіаційного ряду, поданого у виді табл.1.1, середнє арифметичне обчислюється за формулою:

,

де – представник i-го інтервалу; – частість влучення в i-ий інтервал; k – число інтервалів.

Модою () називається найбільше значення реалізації випадкової величини. В інтервальних варіаційних рядах спочатку визначається модальний інтервал, тобто інтервал, у якому знаходиться мода. Якщо ширина інтервалів однакова, то модальним інтервалом є той, для якого частість влученнямаксимальна. Для інтервальних варіаційних рядів з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

,

де – нижня границя модального інтервалу; – ширина інтервалу;  – частоти домодального, модального і післямодального інтервалів, відповідно.

На рис. 1.3 наведено графічний метод визначення моди інтервального варіаційного ряду.

Медіаною () називається значення реалізації випадкової величини, для якої виконується співвідношення:ймовірність влучення в інтервал ліворуч та праворуч її однакова і дорівнює 0,5.

.

Для інтервальних варіаційних рядів медіана визначається за формулою:

,

де – нижня границя медіанного інтервалу;– ширина інтервалу; – частота влучення в i-й інтервал; k – число інтервалів; – накопичена частота медіанного і домедіанного інтервалів, відповідно.

Рисунок 1.3 – Графічний метод визначення моди

На рис. 1.4 наведено графічний метод визначення медіани за емпіричною функцією розподілу.

Порівняння середнього арифметичного, моди і медіани дає можливість зробити висновок про симетричність розподілу без графічного представлення варіаційного ряду у вигляді гістограм: для симетричних рядів вони збігаються.

Рисунок 1.4 – Графічний метод визначення медіани

за емпіричною функцією розподілу

1.5. Знаходження характеристик розсіювання випадкової величини

До статистичних характеристик розсіювання випадкової величини відносять розмах варіювання, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Розмах варіювання визначається за формулою:

.

Для інтервального варіаційного ряду середнє лінійне відхилення обчислюється за формулою:

.

Середнє квадратичне відхилення знаходиться таким чином:

. (1.1)

Для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального використовують такі характеристики, як коефіцієнти асиметрії й ексцесу.

Коефіцієнт асиметрії емпіричного розподілу є характеристикою симетричності розподілу і визначається так:

. (1.2)

Коефіцієнт ексцесу емпіричного розподілу характеризує крутість розподілу в порівнянні з нормальним і обчислюється за формулою:

. (1.3)