6.2 Опис процесу функціонування ієрархічної системи управління тк

Будемо вважати, що ТК складаються з N підсистем. Серед вихідних змінних підсистем є такі, що відображають зв'язки підсистем з навколишнім середовищем та не являються змінними взаємодії підсистем. В загальному випадку компоненти векторів X, Y, Z,U мають обмеження у вигляді нерівностей типу:

,або ,або

чи рівностей. При управлінні ТК враховуваться також проміжні ємності, мережі трубопроводів, тощо.

Як було показано вище, загальний показник функціонування ТК на часовому інтервалі , коли він має зміст технологічної скла­дової прибутку, можна представити у вигляді:

(6.6)

Таким чином, критерій ефективності ТК - адитивна функція кри­теріїв ефективності підсистем. Для кожної з підсистем критерій ефективності можна представити в вигляді:

(6.7)

де: - змінні взаємодії з η-οϊ підсистеми на і-ту;

- коефіцієнти вартості, які враховують ціни потоків Υ та U.

В процесі роботи ієрархічної системи управління визначення управляючих діянь здійснюється в дискретні моменти часу при розв'язанні підзадач першого рівня , при цьому в загальному випадку підзадачі розв’язуватися з різними періодамидля різних підсистем комплексу {Pi},i=(l,N). Тоді показник ефективності можна записати в формі:

(6.8)

де: tmi - дискретні моменти часу, в які розв'язуються підзадачі .

З урахуванням дискретизації часу математичні моделі ТК часто - записують в вигляді різницевих рівнянь:

(6.9)

де: .

Δ - достатньо малий крок дискретизації часу;

у - вектор, який включає вихідні змінні підсистем: .

Опис динамічних об'єктів в кінцево-різницевій формі на сьогодні є загальноприйнятим, якщо векторна функція f неперервна разом з частинними похідними першого порядку. Використання кінце­во-різницевої апроксимації систем диференційних рівнянь, які описують неперервні процеси, приводить до задачі нелінійного програ­мування, розв'язок якої в загальному випадку може відрізнятись від розв'язку початкової задачі оптимального управління неперервним об'єктом. Виникає проблема дослідження збіжності кінцеворізницевої апрокси-мації до рішення початкової задачі.

Показано, що збіжність траєкторії дискретної апроксимації Y(t) до траєкторії в смислі різниці векторів

при для випадку, коли U(t), Z(t) -

кусочно-неперервні функції, а вектор-функція f(Y(t), U(t), X(t), Z(t), t) задовольняє умові Ліпшиця стосовно своїх аргументів (як відомо, умова Ліпшиця входить у формулювання теореми про існування

та єдність рішень диференційного рівняння). При доказана збіжність по функціоналу, коли відсутні обмеження на координати стану і оптимальне управління в задачі різницевої апроксимації є кусочно-постійним в результаті довизначення дискретних значень

на інтервалі розв'язання задачі [0,Т].

В реальних системах оперативної оптимізації неперервних об'єктів на основі кінцево-різницевої апроксимації диференційних рівнянь, які розв'язуються зо допомогою ЕОМ, величина кроку дис­кретизації Δ завжди має кінцеве значення (Δ≠Ο), тому розв'язок за­дачі завжди наближений.

Вираз може набути більш простої форми в результаті пе­реходу від інтегралу до суми:

(6.10)

де:

(6.11)

Загальна задача оптимального управління на часовому інтервалі Τ=τ полягає в забезпеченні показника ефективності в просторі

управлінь ,,,при існую­чих обмеження, оцінках збурень,,,, а також параметрах математичних моделей підсистем, які визначають розв'язок задач.

Щодо функцій f, які описують управління підсистеми та залежностей - для визначення показників ефективностей, то їх можна вважати неперервними, нелінійними в області допустимих значень, що визначаються обмеженнями , та такими, що мають не­перервні частинні похідні.

Якщо припустити, що змінні взаємодії підсистем задані, то за­гальну задачу управління ТК можна представити у вигляді множини незалежних підзадач ,,оптимального

управління підсистемами ТК ,. При цьому кожна із підза­дачполягає в досягненні показником ефективностіекстрему­му на часовому інтерваліпри існуючих обмеженнях та значеннях змінних Υ та X та оцінках збурень Ζ.

Таким чином, характерними ознаками підзадач є:

підзадачі розподілені як в просторі, так і за часом;

підзадачі можуть розв'язуватись незалежно одна від одної, якщо задано умови, викладені вище;

постановка підзадач отримана формальним шляхом на основі декомпозиції загальної задачі.

Для розв'язання загальної задачі на основі розв'язків підзадачнеобхідно попередньо знайти оптимальні за загальним критерієм значення змінних взаємодії підсистем, тобто розв'язати задачу координаціїпідзадач.

Таким чином підзадачі ,,та підзадачастворюють двохрівневу ієрархічну структурупідзадач управління ТК в складі підсистем,:

(6.12)

Розв'язок кожної з підзадачреалізується у вигляді управліньв моменти часу. Підзадачарозв'язується при t=0 на весь часовий інтервал роботи системи, а підзадачі- відповідно в моменти,,.

Аналогічну структуру можна отримати для ієрархічної системи з числом рівнів, більшими двох.