Другий метод Ляпунова

Дано: динамічна система

,

-n-мірний вектор стану;

- n-мірна вектор-функція.

У загальному випадку маємо: =0

Для такої довільних динамічної системи є справедливими дві теореми Ляпунова:

Запишемо їх у канонічному формулюванні Ляпунова:

Теорема 1

Якщо існує знаковизначена функція , похідна якої по часу.

В силу диференційних рівнянь руху є або знакопостійна функція протилежного з V знаку, або ж тотожно дорівнює 0.

То незбурений рух є стійким.

Довідка:

Знакопостійна функція:

Знакозмінна функція:

Теорема 2. Якщо крім того, функція знаковизначена (тобто не має нульових точок) то незбурений рух стійкий асимптотично. Я думаю ви самі зможете по схемам самостійно дати визначення знакопостійної і знаковизначеної функції.

Зрозуміти зміст функції Ляпунова можна за допомогою тільки що розглянутого фазового простору.

Намалюємо фазові траєкторії і лінії постійного рівня функції Ляпунова,

Фазові траєкторії перетинають (пронизують) цю поверхню тільки „ззовні”.

„Фізичний зміст” цієї поверхні – рівні узагальненої потенційної енергії; стійкому стану відповідає мінімум потенційної енергії; стійким процесам відповідають такі, в яких потенційна енергія зменшується (не обов’язково монотонно).

Функцію Ляпунова треба „вгадати”.

Тільки для лінійних систем її вид відомий: ,

або в векторно-матричній формі: , де Ап*п матриця шукомих коефіцієнтів функції Ляпунова. Тоді похідну по часу від функції п – змінних – в свою чергу функцій часу – ми можемо записати у вигляді суми:

Для НДС з малими нелінійностями:

, де - зміна інтегрування, - статична нелінійність класу (0, К):

Проводимо дотичну до нелінійності з кутом К. Не лінійності, які лежать у цьому куті – не лінійності класу (0,К).

Абсолютна стійкість. Критерій абсолютної стійкості В.М.Попова.

Розглянемо нелінійну САУ слідую чого виду:

яка складається із лінійної частини і однієї статичної нелінійності (можливо приведеної).

Що таке статична нелінійність? – це змінний коефіцієнт зворотнього зв’язку.

Можна розглядати стійкість таких систем для цілих класів нелінійностей. Ці класи можна задати як:

Нелінійність класу (0,К);

Нелінійність класу (К1,К2).

У 1960 році ад’юнкт Московської академії, Румунський громадянин запропонував критерій стійкості таких систем. Цей критерій являє собою конкретизацію 2-го методу Ляпунова, і доводиться на основі теорем Ляпунова.

Розглянемо формулювання та інтерпретації критерію Попова.

Випадок 1: Стійка лінійна частина

Для стійкості рівноваги необхідно і достатньо щоб існувало дійсне , при якому:

1) (дійсна частина функції Попова), де функція Попова визначається наступним чином:

, так як

2) і нелінійність належить до класу (0, К), тобто , або

Критерій Попова рідко застосовується в алгебраїчній формі, і часто в геометричній.

Геометрична інтерпретація критерію Попова

Введемо таку, що,

Нехай:

Тоді згідно визначенню:

Виразимо через:

Нехай - будь-які (не належать) точки комплексної площини. Тоді граничному випадку нерівностівідповідає пряма з нахиломі проходить через точкуна дійсній вісі.

Таким чином критерій Попова може бути сформульований наступним чином:

НСАУ з стійкою та цілком керуємою лінійною частиною абсолютно стійка у класі статичних нелінійних характеристик (0, К).

Якщо через точку (-1/К) на дійсній вісі Комплексної площини можна провести пряму так, щоб перетворена частотна характеристикалежала бправоруч від цієї прямої.

ВИПАДОК 2: Нестійка лінійна частина СРС!

14