Методи фазового простору

Методи фазового простору – це сукупність кількісних і якісних, аналітичних і графічних методів аналізу і синтезу нелінійних САУ самих різних типів.

У більшості випадків нелінійна динамічна система (НДС) може бути подана у формі Коші:

(1)

де -n-мірний вектор стану;

- m-мірний вектор управління;

- p-мірний вектор обурень;

- n-мірний вектор нелінійних функцій;

Обмежимось поки розглядом НДС при тазаданих функціях часу.

З теорії диференційних рівнянь відомо, що при заданих початкових умовах та при заданихотримаємо деяке єдине розв’язання рівняння (1). Це розв’язання можна подати деякою траєкторією у просторі змінних

Геометричне місце таких точок дає траєкторію процесу у просторі станів.

Якщо не залежать від часу, то можна розглядати процеси у фазовому просторі без урахування часу, тільки в аспекті зв’язку між координатами.

Для того, щоб перейти до фазових траєкторій, виключимо із системи рівнянь (1) час.

Тоді фазова траєкторія буде описуватись системою із (n-1) рівняння:

Зображення процесів у фазовому просторі знайшло найбільш широке розповсюдження для систем 2-го порядку. У цьому випадку фазовий простір зводиться до фазової площини.

Для п=2:

В деяких випадках можливо про інтегрувати останнє рівняння.

Властивості фазових траєкторій

Розглянемо деякі важливі властивості фазових траєкторій:

1) Фазові траєкторії не перетинаються якщо і однозначні і закінчуються при в нескінченості або в особливих точках.

В окремому випадку (тобто х₁ координата, х₂- швидкість) фазові траєкторії мають слідуючі властивості.

3) В верхній напівплощині фазові траєкторії відхиляються в право, в нижній - вліво (доведіть самі!!!).

4) Якщо фазова траєкторія перетинає вісь х₁, то кут перетину дорівнює 90°(доведіть самі!!).

Серед точок фазової траєкторії виділяють так звані особливі точки.

Особливі точки відповідають положенням рівноваги систем управління, що використовуються, так як в цих точках .

Ізоклиною- називається геометричне місце точок з однаковим кутом нахилу інтегральних кривих ().

Ізоклини полегшують побудову фазових траєкторій.

Приклад:

Перехідний процес у часі Перехідні процеси на фазовій площині

Класифікація особливих точок

1) Стійкий вузол.

2) Стійкий фокус.

3) Нестійкий фокус.

4) Нестійкий вузол.

5) Сідло.

Стійкість нелінійних систем

У першій частині ми отримували необхідну і достатню умову стійкості лінійних динамічних систем. Усі корені характеристичного рівняння системи повинні бути „лівими”. Для імпульсних лінійних систем корені повинні лежати всередині 1-го кола. Для нелінійних САУ таких простих і загальних критеріїв і методів аналізу стійкості немає.

Для нелінійних систем існує багато часткових методів. І один загальний – другий метод Ляпунова.

Особливість другого методу – треба кожного разу конструювати функцію Ляпунова.

Перейдемо до розгляду цього методу.