Лабы_идентификация

Ідентифікація

та

моделювання

об’єктів автоматизації. Методичні

вказівки

до виконання

лабораторних

робіт для студентів за напрямо

підготовки

6.050202

“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”

Загальні відомості

Статичною

характеристикою (математичною

моделлю

статики)

об’єкта управління називається функціональна

залежність вихідних

величин

об’єкта від вхідних діянь (збурення / управління)

в усталеному режимі роботи

об’єкта, коли всі його змінні є сталими в часі.

Стохастичним об’єктом називається об’єкт,

в

якому всі його

змінні

змінюються як випадкові процеси. Ці випадкові процеси підкоряються певним

статистичним закономірностям.

Більшість технологічних об’єктів управління є стохастичними об’єктами,

в яких змінні є випадковими процесами з нормальним(Гаусовим) законом

розподілу. У цьому випадку може бути виявлена в процесі експериментута

обробки експериментальних даних статистична

закономірність– рівняння

Такі

моделі (закономірності)

отримуємо

в

результаті

обробки

експериментальних даних пасивного чи активного експерименту.

Експериментом

називають

взаємодію

дослідника

з

об’єк

дослідження,

в

результаті

якої

шляхом

вимірювання

отримують

дан

спостереження в кількісній чи якісній формі – експериментальні дані.

Пасивний експеримент

полягає

у спостережені

за

функціонуванням

об’єкта, шляхом вимірювання всіх його змінних, що входять в модель без

нанесення на об’єкт спланованих діянь.

Одним з методів побудови математичних

моделей таких

стохастичних

об’єктів

є метод

найменших

квадратів. Метод

найменших

квадратів–

це

метод параметричної ідентифікації об’єктів управління.

Ідентифікація –

це

процес побудови

математичної моделі об’єкта

управління за експериментальними даними та деякою апріорною(до дослідів)

інформацією

(дані

про

особливості

об’єкта: детермінований-стохастичний,

лінійний-нелінійний, неперервний-дискретний, стаціонарний-нестаціонарний;

інформація про алгоритм та критерії ідентифікації), при цьому математична

модель повинна бути оптимальною, забезпечуючи екстремальне значення

критерію адекватності.

Адекватність –

це

міра відповідності

моделі об’єкту. В більшості

випадків

оцінюється

за

допомогою

показників-критеріїв

адекватності, які

-

структури S;

-

параметрів цієї структури АS.

M <S, AS >

(1.1)

Структура математичної моделіS являє

собою сукупність елементів

у = а0х1а1

(1.4)

де у, х1– елементи; а0, а1 – параметри;

Параметрами структури є коефіцієнти рівняння, константи, за допомогою

яких кількісно оцінюється взаємозв'язок між змінними.

При

параметричній

ідентифікації

структура

математичної

моделі

визначається неформальним шляхом, частіше всього апріорі(до дослідів), на

основі досвіду застосування на об’єктах подібного класу, або шляхом

висунення

декількох

структур-претендентів, остаточний

вибір

найбільш

ефективної з них здійснюється в процесі обробки даних.

Метод найменших квадратів є оптимізаційною задачею, критерієм

оптимальності якої є вираз:

п

Ф= å ( у іе - у ім ) 2 ¾¾® min

(1.5)

де і – номер експерименту;

і =1

n – загальна кількість експериментів;

уеі, умі –

відповідно,

значення

вихідної

величини

об’єкта, отримані в

результаті і-того експерименту

та розраховані за математичною моделлю при

значеннях вхідних дій, отриманих на і-тому експерименті.

У випадку відомої структури рівняння (1.5) набуває вигляду:

п

r r

(1.6)

Ф= å ( у іе - f j

( A j ; X ie )) 2

¾¾® min

п

Ф= å ( у іе - ( а 0 - а1 х )) 2 ¾¾® min

(1.7)

і =1

Для вирішення задачі (1.7) знаходимо часткові похідні та прирівнюємо їх

до нуля:

дФ

= 0;

дФ

= 0;

(1.8)

да0

да1

n

n

n

n

n

n

n

а

å yi åxi2 - åxi yi åxi

; а

nå yi xi - åxi å yi

(1.9)

=

i=1

i=1

i=1

i=1

=

i =1

i=1

i=1

n

n

n

n

0

1

nåxi2 - (åxi )2

nåxi2 - (åxi )2

i=1

i=1

i=1

i=1

№екс

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Xei,В

Yei,

°С

Yмi,л

Yei,нл

Yi,не

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

відтворення

властивостей

об, ’єктабільш

детального

дослідження

окремих ділянок області функціонування об'єкта тощо.

Експеримент

виконують на

всіх визначених рівнях

факторів з декількома

повторами, з метою усунення систематичної похибки. Такий експеримент

характеризується значною

кількістю

дослідів, але

дає

змогу для деяких

об'єктів встановити властиві для цього об’єкта закономірності.

Методи планування експерименту дозволяють різко скоротити кількість

експериментів за рахунок того, що рівні факторів в кожному експерименті

теоретично

обґрунтовані

і математична модель має однакові показники

ефективності (точність, адекватність)

в порівняні з

моделями, отриманими

класичним методом. Остання теза справедлива у випадку,

якщо математична

Центр плану експерименту

X2

(-1;+1)

(+1;+1)

Область

DХ і = Х імах - Х іном

X2max

існування

Х імах - Х іном

= +1

X1ном

моделі.

Х імах

- Х іном

X2min

(-1;-1)

(+1;-1)

Х іміп - Х іном

= -1

мах

ном

X

X

Х і

- Х і

Х1min

X1ном

Х1max

Х1

Для

того,

щоб розрахувати точність моделі потрібно провести

статистичний аналіз отриманих результатів. Як правило, експерименти

проводять з кількістю повторів не менше двох.

Таблиця 2.1

План

Вихідні змінні

Розрахунок

№

експерименту

п/п

Х1

Х2

Yu1

Yu2

Yu3

Ÿu

Ŷu

1

+1

+1

2

-1

+1

3

+1

-1

4

-1

-1

X2(φ)

Першим фактором є напруга, що

подається на нагрівальний елемент Х1 (u),

другим фактором є швидкість обертання

вентилятора Х2(φ).

отримати

лінійн

Потрібно

X1(u)

математичну модель такого вигляду:

Y=a0+a1X1+a2X2

фактор

Враховуючи

те, що

перший

(напруга)

змінюється

за

допомогою

ТЕ

У(t)

пневматичного

виконавчого

механізму,

положення якого визначається тиском

стисненого повітря, визначаємо значення

Рис. 2.2. Структурна схема

рівнів факторів в % ходу виконавчого

теплового об’єкта.

механізму, яким відповідають певні

значення тиску повітря, що подається на виконавчий механізм.

Х1= 50 % Х.ВМ

0 %

100 %

Х1 =20% Х. ВМ.

1

1

(+1) Х1мах =90% ~ 0,76 кгс/см2

0,2 кгс/см2

1,0 кгс/см2

(-1) Х1мах =30% ~ 0,44 кгс/см2

Швидкість вентилятора змінюється змінюванням положення

потенціометра

Х2

ном –

друга поділка,

Х2мах – перша поділка,

Х2мін – третя поділка.

Лабораторна установка (рис. 2.3) складається із теплового об’єкта, що

являє собою трубу9 з розміщеними в середині нагрівними елементами10.

Повітря в трубу подається вентилятором8. Вихідною величиною об’єкта є

температура

повітря

на

виході

з

труби, а

факторами – зміна

напруги, що

подається

на

нагрівні

елементи10 та зміна витрати повітря, пропорційна

частоті обертів п вентилятора, яка змінюється за допомогою змінного резистора

3. Напруга живлення нагрівника змінюється автотрансформатором7, повзун

якого переміщується мембранним виконавчим механізмом11. Температура в

об’єкті вимірюється термометром опору 12 в комплекті з автоматичним мостом

КСМ-3 1, що має пневмовихід, тобто виконує роль ЕПП. Регулятор ПР 3.31 (ПІ-

регулятор) встановлений на задній стінці вториного приладу2 типу ПВ10.1Э;

справа

розміщений

мікропроцесорний

регулятор 4.

Стенд

вмикається

за

допомогою

вимикача 6,

пов’язаного з сигнальною лампою5. Швидкість

обертання вентилятора регулюється перемикачем 3.

y u

=

k =1

(2.1)

m