Navch._posibnuk_Ivaschyk

використані повністю і є дефіцитними. Збільшення запасу ресурсу S2 на одиницю сприятиме збільшенню цільової функції початкової

задачі (доходу) на 53 , а збільшення запасу ресурсу S3 на одиницю

призведе до збільшення доходу на 65 . Оскільки значення у3 більше

від значення у2, то ресурс S3 є дефіцитнішим за S2. Двоїста змінна у1=0, а значить ресурс S1 не використаний повністю (є надлишок цього ресурсу) і є недефіцитним. Це підтверджується тим, що додаткова невідома х3, яка була введена в перше обмеження (з використання ресурсу S1) для того, що звести задачу до канонічного виду, є різницею між правою та лівою частинами цього обмеження, не рівна нулю (х3=l5) в оптимальному плані. Значить, надлишок ресурсу S1 становить 15 одиниць.

Отже, дефіцитність ресурсів можна визначити трьома способами:

а) Підставимо оптимальний план прямої задачі в систему обмежень. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, в протилежному випадку – недефіцитний.

б) За допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна прямої задачі в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, якщо ж відмінна від нуля – ресурс

111

недефіцитний. В нашому випадку x3=15 (ресурс S1 недефіцитний), х4=0 (ресурс S2 дефіцитний) та х5=0 (ресурс S3 дефіцитний).

в) За допомогою двоїстих оцінок. Якщо двоїста змінна yi ≠ 0, то

зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо уі=0, то і-тий ресурс недефіцитний. В нашій задачі:

Отже, якщо запас ресурсу S2 (дефіцитного) збільшити на одиницю (b2=680+1=681), то максимальне значення цільової функції

зросте на 53 і становитиме Zmax = 480+ 53 =480,6 за інших однакових

умов. Але за рахунок яких змін в оптимальному плані виробництва продукції збільшиться дохід? Інформацію про це дають елементи стовпчика «х4» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій

змінній у2= 53 . В новому оптимальному плані значення базисної невідомої х3 зросте на 15 , невідомої х1 теж зросте на 15 , а невідомої

виробництва максимальний дохід становитиме:

112

Zmax = 9 40,2 + 6 19,8 + 0 15,2 + 0 0 + 0 0 = 361,8 +118,8 = 480,6.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва, якщо запас дефіцитного ресурсу S3 збільшити на одиницю (b3 = 60 +1 = 61) за інших однакових умов. Аналогічно до попередніх

міркувань, скориставшись елементами стовпчика «x5» останньої

5

випадку зросте на 1,2.

Але після проведеного аналізу постає логічне запитання: а чи будуть зберігатися встановлені пропорції, якщо запас дефіцитного ресурсу змінити не на 1 одиницю, а наприклад на 10 одиниць? Щоб однозначно відповісти на це запитання, необхідно розрахувати інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки уі залишаються на рівні оптимальних значень.

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень змінних, – це умова невід’ємності, тобто:

113

Це означає, що коли запас ресурсу S2 збільшити на 100 одиниць або зменшити на 75 одиниць, то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу залишиться y2 . Отже, запас ресурсу може змінюватися в

межах:

680 − 75 ≤ b2 ≤ 680 +100, 605 ≤ b2 ≤ 780.

Згідно з цим можливий максимальний дохід перебуватиме в межах:

480 − 75 53 ≤ Zmax ≤ 480 +100 53, 480 − 45 ≤ Zmax ≤ 480 + 60,

435 ≤ Zmax ≤ 540.

а оптимальний план виробництва продукції:

40 + 15 (−75);20 − 15 (−75);15 + 15 (−75);0;0 ≤ xопт ≤ 40 + 15 100;20 − 15 100;15 + 15 100;0;0 ,

114

Можливий дохід та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть в межах

480 + 52,31 65 ≤ Zmax ≤ 480 + 62,27 65 ,

480 + 62,77 ≤ Zmax ≤ 480 + 74,72, 542,77 ≤ Zmax ≤ 554,72;

(40−12,31; 20`−20; 15+50,77; 0; 0)≤ xопт ≤(40−3,64; 20+5,91; 15−15; 0; 0),

(27,69; 0; 65,77; 0; 0)≤xопт ≤(36,36; 25,91; 0; 0; 0).

Зауважимо, що визначені інтервали стосуються лише випадків, коли змінюється тільки один ресурс, а запаси всіх інших фіксовані. У випадку одночасної зміни обсягів усіх або кількох ресурсів підхід до визначення нового оптимального плану дещо інший.

4. Наприклад, нехай обсяги всіх трьох ресурсів змінюються відповідно на b1 = +100, b2 = −5, b1 = +15. Для визначення

компонентів нового оптимального плану скористаємось одним із головних співвідношень обчислювальної процедури симплексметоду:

x = D−1 b.

З останньої таблиці запишемо обернену матрицю:

Змінені запаси ресурсів утворюють вектор:

115

Тоді новий оптимальний план виробництва продукції за відповідної одночасної зміни запасів усіх трьох ресурсів:

і становитиме Zmax = 480 +15 = 495.

5. Наступним кроком економічного аналізу розв’язаної задачі є оцінка рентабельності продукції, що виготовляється. Визначити, яка продукція рентабельна, а яка ні, можна:

а) За допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі. Підставимо значення двоїстих змінних оптимального плану двоїстої задачі у систему обмежень двоїстої задачі. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції (ліва частина) перевищує дохід від одиниці цієї продукції (права частина), то виробництво такої продукції недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.

Ми бачимо, що і продукція П1,і продукція П2 рентабельні.

116

б) За допомогою додаткових змінних двоїстих оцінок. Значення цих додаткових змінних показують, наскільки вартість ресурсів перевищує дохід від одиниці відповідної продукції. Тому, якщо додаткова змінна двоїстої задачі дорівнює нулю, то продукція рентабельна. І навпаки, якщоyi ≠ 0 , то відповідна продукція

нерентабельна.

Додаткові змінні двоїстої задачі розміщені в нульовому рядку останньої симплексної таблиці у стовпчиках «х1» та «х2». Випишемо їх значення: у4=0, у5=0. А це свідчить про те, що продукції П1 та П2 рентабельні.

6. Під впливом різних обставин дохід від реалізації одиниці продукції може змінюватися (збільшуватись чи зменшуватись). Тому завжди цікаво знати межі зміни доходу від реалізації одиниці продукції кожного виду, при яких оптимальний розв’язок не змінюється, тобто:

хопт=(40; 20; 15; 0; 0).

Для визначення інтервалів зміни коефіцієнтів цільової функції скористаємось тим, що при цьому симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд, за винятком елементів нульового рядка. Нові оцінки (zj-cj) мають задовольняти умову оптимальності симплекс-методу при дослідженні цільової функції на

Це означає, що коли дохід від одиниці продукції П1 зменшиться не більше як на 3 грошові одиниці і зросте не більше як 34 грошових

117

одиниць, то оптимальним планом залишиться Xопт=(40; 20; 15; 0; 0).

Враховуючи їх невід’ємність, маємо:

Ми отримали межі зміни коефіцієнта при невідомій х2 в цільовій функції, при яких оптимальний розв’язок не зміниться. Тобто, якщо за інших однакових умовах (при незмінності всіх інших даних задачі) дохід від одиниці продукції П2 зросте не більш як на 3 грошові

одиниці чи зменшиться не більше як на 136 грошових одиниць, то

оптимальним планом буде: хопт=(40; 20; 15; 0; 0).

Проведений у задачі аналіз лінійної моделі на чутливість дає широкий спектр інформації про визначений оптимальний план, і ми можемо дослідити можливі зміни оптимального плану в результаті коректування умов прямої задачі, що є дуже важливим для економістів. ♦

Тепер розглянемо післяоптимізаційний аналіз розв’язаних задач з допомогою пакету прикладних задач LINA та стандартної офісної програми EXCEL.

Приклад 3.3. Провести післяоптимізаційний аналіз оптимального розв’язку узагальненої моделі оптимального планування (приклад 2.8).

♦Розв’язування.

Вприкладі 2.8 ми отримали оптимальний розв’язок узагальненої

моделі оптимального планування. Але аналітик, який використовує під час розв’язування задач організації управління виробництвом та іншими економічними процесами методи лінійного програмування, дуже рідко задовольняється лише числовим значенням змінних. У

118

більшості випадків він хоче знати, в якому інтервалі можна змінювати вхідні параметри без суттєвого відхилення від знайденого оптимуму і без значного порушення структури одержаного базису. На ці запитання дає відповіді економіко-математичний аналіз оптимальних розрахунків, який здійснюється за допомогою двоїстих оцінок і коефіцієнтів заміщення останньої симплекс-таблиці.

Аналіз оптимальних розрахунків за допомогою двоїстих оцінок ґрунтується на двоїстій постановці задачі лінійного програмування. Відомо, що для будь-якої задачі лінійного програмування існує двоїста, де перша задача називається прямою, а друга – двоїстою. Наприклад, в якості прямої задачі – задача загального оптимального планування. Побудуємо до неї двоїсту. З цією метою введемо n+r оптимальних оцінок і позначимо через y1 , y2 ,..., yn оцінки наявних

ресурсів, а через yn+1 ,..., yn+r оцінки одиниці продукції відповідного виду. Тоді математична модель двоїстої задачі матиме вигляд:

Із основної теореми двоїстості відомо: якщо одна із пар двоїстих задач має хоча б один оптимальний план, то і друга задача також має оптимальний план, причому максимум цільової функції початкової задачі та мінімум двоїстої чисельно рівні.

Розглянемо оптимальний розв’язок узагальненої моделі оптимального планування (приклад 2.8), який ми отримали у вигляді табл. 2.2 і проведемо післяоптимізаційний аналіз отриманих розрахунків.

119

Значення цільової функції

Першим напрямком використання двоїстих оцінок є оцінка ефективності технологічних способів виробництва або видів діяльності. Для цього необхідно порахувати загальні оцінки витрат та випуску продукції стосовно кожного технологічного способу виробництва (табл. 3.1).

З цієї таблиці зрозуміло, що для технологічних способів виробництва, які ввійшли в оптимальний план, сумарні оцінки витрат і виробництва продукції збігаються. Другий технологічний спосіб виробництва є неефектним, тому що для нього сумарна оцінка витрат перевищує сумарну оцінку випуску на величину відносної оцінки.

Другою властивістю оцінок ресурсів є характеристика їх ефективності. Чим більше значення двоїстої оцінки (для обмежень типу «≤»), тим ефективнішим або дефіцитнішим є окреслений ресурс, тобто більш виправданими є заходи і витрати на збільшення його обсягів. Якщо оцінка відповідного ресурсу матиме нульове

120