Завдання 5

Один з цехів галантерейної фабрики випускає сумки двох видів А і В. Відомо, що на виготовлення сумки кожного виду можна використовувати штучну шкіру, однотонну тканину і тканину в клітку. Запаси цих матеріалів на фабриці відповідно складають d₁, d₂, d₃ дм². На виготовлення однієї сумки А витрати штучної шкіри становлять а₁ дм², однотонної тканини – а₂ дм², тканини в клітку – а₃ дм².

Аналогічні витрати матеріалу на виготовлення однієї сумки В складають відповідно b₁, b₂, b₃ дм². Від реалізації однієї сумки А фабрика одержує прибуток с₁ грн., а від однієї сумки В – с₂ грн. Визначити, скільки сумок кожного виду повинен виготовити цех, щоб одержати найбільший прибуток, якщо:

Матеріали	Норми витрат матеріалів на одиницю продукції		Запаси матеріалів
	А	В
1 - штучна шкіра	8	6	d1 = 105
2 - однотонна тканина	3	6	d2 = 95
3 - тканина в клітку	6	2	d3 = 110
Прибуток на одиницю продукції	с1 = 4	с2 = 4

Задачу розв'язати графічно та методом Гоморі.

Розв'язання:

Припустимо, що буде виготовлено одиниць виробуА, одиниць виробу В. Тоді для виробництва такої кількості виробів потрібно затратити дм² штучної шкіри. Так як фабрика забезпечена штучною шкірою в кількості 105 дм², то повинна виконуватися нерівність:

Аналогічні міркування відносно забезпеченості фабрики сировиною другого та третього виду приведуть до наступних нерівностей:

При цьому, так як кількість виробів не може бути від'ємною, то

_{А також має бути забезпечений цілочисловий розв’язок.}

_{Тоді прибуток від реалізації даних виробів складе}

Математична модель вихідної задачі:

Знайдемо розв’язок сформульованої задачі, використовуючи її геометричну інтерпретацію. Спочатку визначимо багатокутник розв’язків. Для цього в нерівностях системи обмежень та умовах невід’ємності змінних знаки нерівностей поміняємо на знаки точних рівностей і накреслимо відповідні прямі:

На координатній площині будуємо графіки заданих прямих. Кожна з них ділить площину на дві півплощини. Координати точок однієї півплощини задовольняють вихідній нерівності, а іншої – ні. Щоб визначити шукану півплощину, потрібно взяти будь-яку точку, яка належить одній з півплощин, і перевірити, чи задовольняють її координати даній нерівності. Якщо координати вибраної точки задовольняють даній нерівності, то шуканою являється та півплощина, якій належить ця точка, в іншому випадку – друга півплощина.

Багатокутником розв’язків є OABD, як видно з рисунка:

Координати будь-якої точки, яка належить цьому чотирикутнику, задовольняють задану систему нерівностей та умови невід’ємності змінних. Тому сформульована задача буде розв’язана, якщо знайдемо точку даного чотирикутника, в якій функція досягає мінімального та максимального значення. Щоб знайти вказану точку, побудуємо векторі пряму, де- деяка постійна така, що дана пряма має спільні точки з багатокутником розв’язків.

Координати точки B (точка перетину (1) та (2) прямих) і визначають найбільше значення функції.

_B:

Для пошуку цілочислового розв’язку визначаємо точки з цілими координатами, які наближені до цієї точки максимуму. Це чотири точки (1, 15), (2, 14), (3, 13) і (4, 12).

,

_{Всі ці точки є точками максимуму, значення функції в них одинакові.}

Знайдемо розв'язок задачі методом Гоморі.

Спочатку знайдемо розв’язок симплекс–методом, нехтуючи умовою цілочисловості.

Запишемо цю задачу в канонічній формі задачі лінійного програмування. Для цього перейдемо від обмежень-нерівностей до обмежень-рівностей. Введемо три додаткові змінні, в результаті чого обмеження запишуться у вигляді системи рівнянь:

Ці додаткові змінні мають наступний економічний зміст – не використана при даному плані виробництва кількість сировини того чи іншого виду. Наприклад, - це невикористана кількість сировини першого виду.

Перетворену систему рівнянь запишемо у векторній формі:

де

Оскільки серед векторів є три одиничних вектори, для даної задачі можна безпосередньо записати опорний план: який визначається системою трьохмірних одиничних векторів , які утворюють базис трьохвимірного векторного простору.

Складаємо симплекс-таблицю для І ітерації, підраховуємо значення та перевіряємо вихідний опорний план на оптимальність:

- обчислюється скалярний добуток векторів та. А дляобчислюється скалярний добуток векторівта:

_{Для векторів базису}

_{Симплекс-таблиця І ітерації:}

і	Базис			4	4	0	0	0
1		0	105	8	6	1	0	0
2		0	95	3	6	0	1	0
3		0	110	6	2	0	0	1
				-4	-4	0	0	0

Як видно з таблиці, значення всіх основних змінних рівні нулю, а додаткові змінні приймають свої значення у відповідності з обмеженнями задачі. Цей план, звичайно, не буде оптимальним. Це видно ще й з 4-ого рядка таблиці, так як у ній є 2 однакових від’ємних числа.

Найбільш доцільним є включення в план виробництва виробів, яким відповідає максимальне за абсолютною величиною від’ємне число стоїть в 4-ому рядку стовпця вектора. Визначаємо вектор, який потрібно виключити з базису. Для цього знаходимодля, тобто –

Отже, вектор виключаємо з базису. Стовпчик вектора і перший рядок являються направляючими. Складаємо таблицю для ІІ ітерації.

Спочатку заповнюємо рядок вектора, введеного в базис, тобто рядок, номер якого співпадає з номером направляючого рядка. Отже, елементи 1-го рядка отримуються з відповідних елементів їх діленням на розв'язувальний елемент (тобто на 8). При цьому в стовпці записуємо коефіцієнт , який знаходиться в стовпці введеного в базис вектора.

Потім заповнюємо елементи стовпців для векторів, які входять в новий базис. В цих стовпцях на перетині рядків та стовпців однойменних векторів ставимо 1, а всі інші елементи – 0.

Для визначення інших елементів застосовуємо правило трикутника.

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Симплекс-таблиця ІІ ітерації.

і	Базис			4	4	0	0	0
1		4	13 1/8	1	3/4	1/8	0	0
2		0	95-3*13 1/8=55 5/8	0	6-3*3/4= 3 3/4	0-3*1/8= -3/8	1	0
3		0	110-6*13 1/8=31 1/4	0	2-6*3/4= -2 1/2	0-6*1/8= -3/4	0	1
				0	-1	1/2	0	0

Отже, кінцева таблиця ІІ ітерації готова:

і	Базис			4	4	0	0	0
1		4	13 1/8	1	3/4	1/8	0	0
2		0	55 5/8	0	3 3/4	-3/8	1	0
3		0	31 1/4	0	-2 1/2	-3/4	0	1
				0	-1	1/2	0	0

Цей план не буде оптимальним, це видно з 4-ого рядка таблиці, так як у ній є 1 від’ємне число.

Включаємо в план виробництва виріб В, оскільки від’ємне число стоїть в 4-ому рядку стовпця вектора . Визначаємо вектор, який потрібно виключити з базису. Для цього знаходимодля, тобто –

Отже, вектор виключаємо з базису. Стовпчик вектора і другий рядок являються направляючими. Складаємо таблицю для ІІI ітерації.

Спочатку заповнюємо рядок вектора, введеного в базис, тобто рядок, номер якого співпадає з номером направляючого рядка. Отже, елементи 2-го рядка отримуються з відповідних елементів їх діленням на розв'язувальний елемент (тобто на 3 3/4). При цьому в стовпці записуємо коефіцієнт , який знаходиться в стовпці введеного в базис вектора.

Потім заповнюємо елементи стовпців для векторів, які входять в новий базис. В цих стовпцях на перетині рядків та стовпців однойменних векторів ставимо 1, а всі інші елементи – 0.

Для визначення інших елементів застосовуємо правило трикутника.

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Симплекс-таблиця ІІI ітерації.

і	Базис			4	4	0	0	0
1		4	13 1/8-3/4*14 5/6=2	1	0	1/8-3/4* (-1/10)=1/5	0-3/4*4/15= -1/5	0
2		4	14 5/6	0	1	-1/10	4/15	0
3		0	31 1/4 +2 1/2*14 5/6=68 1/3	0	0	-3/4+2 1/2* (-1/10)= -1	0+2 1/2*4/15=2/3	1
				0	0	2/5	4/15	0

Отже, кінцева таблиця ІІІ ітерації готова:

і	Базис			4	4	0	0	0
1		4	2	1	0	1/5	-1/5	0
2		4	14 5/6	0	1	-1/10	4/15	0
3		0	68 1/3	0	0	-1	2/3	1
				0	0	2/5	4/15	0

Знайдений план задачі являється оптимальним. Це видно з 4-ого рядка таблиці , оскільки всі числа додатні.

Отже, оптимальний план –.

_{Значення другої змінної є дробовим числом, що не задовольняє початкові умови задачі. Побудуємо для другого рядка наведеної симплексної таблиці додаткове обмеження виду}

_{Оскільки то додаткове обмеження набуває вигляду:}

_{Зведемо його до канонічної форми та введемо штучну змінну:}

_{Приєднавши отримане обмеження до симплексної таблиці з умовно-оптимальним планом дістанемо:}

і	Базис			4	4	0	0	0	0	-М
1		4	2	1	0	1/5	-1/5	0	0	0
2		4	14 5/6	0	1	-1/10	4/15	0	0	0
3		0	68 1/3	0	0	-1	2/3	1	0	0
4		-М	5/6	0	0	9/10	4/15	0	-1	1
				0	0	2/5	4/15	0	0	0
			-5/6М	0	0	-9/10М	-4/15М	0	М	0

Розв’язуючи наведену задачу, остаточно знаходимо цілочисловий оптимальний план: _.