Завдання 3

Побудувати на площині область припустимих рішень системи нерівностей. Геометрично знайти найбільше та найменше значення цільової функції в цій області.

Розв'язання:

Знайдемо розв’язок сформульованої задачі, використовуючи її геометричну інтерпретацію. Спочатку визначимо багатокутник розв’язків. Для цього в нерівностях системи обмежень та умовах невід’ємності змінних знаки нерівностей поміняємо на знаки точних рівностей і накреслимо відповідні прямі:

На координатній площині будуємо графіки заданих прямих. Кожна з них ділить площину на дві півплощини. Координати точок однієї півплощини задовольняють вихідній нерівності, а іншої – ні. Щоб визначити шукану півплощину, потрібно взяти будь-яку точку, яка належить одній з півплощин, і перевірити, чи задовольняють її координати даній нерівності. Якщо координати вибраної точки задовольняють даній нерівності, то шуканою являється та півплощина, якій належить ця точка, в іншому випадку – друга півплощина.

Багатокутником розв’язків є OABCD, як видно з рисунка:

Координати будь-якої точки, яка належить цьому п’ятикутнику, задовольняють задану систему нерівностей та умови невід’ємності змінних. Тому сформульована задача буде розв’язана, якщо знайдемо точку даного п’ятикутника, в якій функція досягає мінімального та максимального значення. Щоб знайти вказану точку, побудуємо векторі пряму, де- деяка постійна така, що дана пряма має спільні точки з багатокутником розв’язків.

Координати точки А і визначають найбільше значення функції.

А:

Координати точки О визначають найменше значення функції.

Завдання 4

Розв’язати транспортну задачу: скласти оптимальний план перевезень однорідного вантажу від постачальників до споживачів, при якому сумарні транспортні витрати були б мінімальними.

Таблиця 4.1.

Вартість перевезення одиниці вантажу, потреби та наявність вантажу

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3	1	2	1	55
А2	1	4	1	3	40
А3	1	2	2	3	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20

Розв'язання:

Для заданої транспортної задачі дано матрицю вартості перевезень С, вектор запасів вантажу в пунктах відправки a, вектор потреби у вантажі у пунктах призначення b:

;

Так як загальна потреба у вантажі в пунктах призначення рівна запасу вантажу в пунктах відправки, то модель такої транспортної задачі називається закритою.

Позначимо через кількість одиниць вантажу, який перевозять зi-го пункту відправки на j-ий пункт призначення. Тоді умови доставки та вивезення вантажу забезпечуються за рахунок виконання наступних рівностей:

Загальна вартість перевезень складає:

Знайдемо початковий розв`язок транспортної задачі методом північно-західного кута.

Для цього метода заповнення кліток таблиці умов починається з лівої верхньої клітинки для невідомого («північно-західний кут») і закінчується клітинкою для невідомого, тобто іде ніби по діагоналі таблиці.

В даній задачі кількість пунктів відправки , а кількість пунктів призначення. Отже, опорний план задачі визначається числами, які стоять узаповнених клітинках.

Заповнення таблиці почнемо з клітинки для невідомого , тобто попробуємо задовольнити потреби першого пункту призначення за рахунок першого пункту відправки. Потреби пункту В₁ більші запасів пункту А₁. Надаємо значення , записуємо його в таблиці і тимчасово виключаємо з перегляду рядок А₁, вважаючи при цьому потреби пункту В₁ рівними 65 – 55 = 10.

Розглянемо перші із залишених пунктів відправки А₂ та призначення В₁. Запаси пункту А₂ більші остачі потреби пункту В₁. Надаємо значення , записуємо його в таблиці і тимчасово виключаємо з перегляду стовпчик В₁, вважаючи при цьому запаси пункту А₂ рівними 40 –10 = 30.

Знову розглянемо перші із залишених пунктів відправки А₂ та призначення В₂. Потреби пункту В₂ менші остачі запасів пункту А₂. Надаємо значення , записуємо його в таблиці і тимчасово виключаємо з перегляду стовпець В₂, вважаючи при цьому запаси пункту А₂ рівними 30 – 20 = 10.

Перейдемо до заповнення клітинки для невідомого і т.д.

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 55	1	2	1	55
А2	1 10	4 20	1 10	3	40
А3	1	2	2 40	3 20	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

В результаті отримуємо опорний план:

.

Згідно даного плану перевезень загальна вартість перевезень всього вантажу складає:

Розв`яжемо задачу методом потенціалів.

За початковий розв`язок візьмемо розв`язок, який знайдено методом північно-західного кута:

.

Згідно даного плану перевезень загальна вартість перевезень всього вантажу складає:

Покращення опорного плану. Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали U_i , V_i по зайнятим клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij , вважаючи, що u ₁= 0.

u₁ + v₁ = 3; 0 + v₁ = 3; v₁ = 3;

u₂ + v₁ = 1; u₂ + 3 = 1; u₂ = -2;

u₂ + v₂ = 4; -2+ v₂ = 4; v₂ = 6;

u₂ + v₃ = 1; -2+ v₃ = 1; v₃ = 3;

u₃ + v₃ = 2; u₃+ 3 = 2; u₃= -1

u₃ + v₄ = 3; -1+ v₄ = 3; v₄ = 4.

	v1=3	v2=6	v3=3	v4=4
u1=0	3 55	1	2	1
u2= -2	1 10	4 20	1 10	3
u3= -1	1	2	2 40	3 20

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij :

(1;2) 0 + 6 > 1; Δ₁₂ =0 + 6 – 1 = 5;

(1;3) 0 + 3 > 2; Δ₁₃ =0 + 3 – 2 = 1;

(1;4) 0 + 4 > 1; Δ₁₄ =0 + 4 – 1 = 3;

(3;1) -1 + 3 > 1; Δ₃₁ =-1 + 3 – 1 = 1;

(3;2) -1 + 6 > 2; Δ₃₂ =-1 + 6 – 2 = 3.

max {(1;2) (1;3) (1;4) (3;1) (3;2)} = 5.

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (1; 2): 3. 

Для цього в перспективну клітинку (1; 2) поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника будуть чергуватися знаки «-», «+», «-».

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 55 [-]	1 [+]	2	1	55
А2	1 10 [+]	4 20 [-]	1 10	3	40
А3	1	2	2 40	3 20	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Цикл наведено в таблиці - клітинки (1,2; 2,2; 2,1; 1,1). 

З вантажів х_ij , які стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменший, тобто у = min (2, 2) =20. Додаємо 20 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 20 з х_ij , які стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 35	1 20	2	1	55
А2	1 30	4	1 10	3	40
А3	1	2	2 40	3 20	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали U_i , V_i по зайнятим клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij , вважаючи, що u ₁= 0.

u₁ + v₁ = 3; 0 + v₁ = 3; v₁ = 3;

u₂ + v₁ = 1; u₂ + 3 = 1; u₂ = -2;

u₁ + v₂ = 1; 0+ v₂ = 1; v₂ = 1;

u₂ + v₃ = 1; -2+ v₃ = 1; v₃ = 3;

u₃ + v₃ = 2; u₃+ 3 = 2; u₃= -1;

u₃ + v₄ = 3; -1+ v₄ = 3; v₄ = 4.

	v1=3	v2=1	v3=3	v4=4
u1=0	3 35	1 20	2	1
u2= -2	1 30	4	1 10	3
u3= -1	1	2	2 40	3 20

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij :

(1;3) 0 + 3 > 2; Δ₁₃ =0 + 3 – 2 = 1;

(1;4) 0 + 4 > 1; Δ₁₄ =0 + 4 – 1 = 3;

(3;1) -1 + 3 > 1; Δ₃₁ =-1 + 3 – 1 = 1.

max {(1;3) (1;4) (3;1)} = 3.

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (1; 4): 3. 

Для цього в перспективну клітинку (1; 4) поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника будуть чергуватися знаки «-», «+», «-».

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 35 [-]	1 20	2	1 [+]	55
А2	1 30 [+]	4	1 10 [-]	3	40
А3	1	2	2 40 [+]	3 20 [-]	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Цикл наведено в таблиці - клітинки (1,4; 3,4; 3,3; 2,3; 2,1; 1,1). 

З вантажів х_ij , які стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменший, тобто у = min (2, 3) =10. Додаємо 10 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 10 з х_ij , які стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 25	1 20	2	1 10	55
А2	1 40	4	1	3	40
А3	1	2	2 50	3 10	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали U_i , V_i по зайнятим клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij , вважаючи, що u ₁= 0.

u₁ + v₁ = 3; 0 + v₁ = 3; v₁ = 3;

u₂ + v₁ = 1; u₂ + 3 = 1; u₂ = -2;

u₁ + v₂ = 1; 0+ v₂ = 1; v₂ = 1;

u₁ + v₄ = 1; 0+ v₄ = 1; v₄ = 1;

u₃ + v₄ = 3; u₃+ 1 = 3; u₃= 2;

u₃ + v₃ = 2; 2+ v₃ = 2; v₃ = 0.

	v1=3	v2=1	v3=0	v4=1
u1=0	3 25	1 20	2	1 10
u2= -2	1 40	4	1	3
u3=2	1	2	2 50	3 10

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij :

(3;1) 2+ 3 > 1; Δ₃₁ =2 + 3 – 1 = 4;

(3;2) 2 + 1 > 2; Δ₃₂ =2 + 1 – 2 = 1.

max {(3;1) (3;2)} = 4.

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (3; 1): 4. 

Для цього в перспективну клітинку (3; 1) поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника будуть чергуватися знаки «-», «+», «-».

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 25 [-]	1 20	2	1 10 [+]	55
А2	1 40	4	1	3	40
А3	1 [+]	2	2 50	3 10 [-]	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Цикл наведено в таблиці - клітинки (3,1; 1,1; 1,4; 3,4). 

З вантажів х_ij , які стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменший, тобто у = min (3, 4) =10. Додаємо 10 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 10 з х_ij , які стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 15	1 20	2	1 20	55
А2	1 40	4	1	3	40
А3	1 10	2	2 50	3	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали U_i , V_i по зайнятим клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij , вважаючи, що u ₁= 0.

u₁ + v₁ = 3; 0 + v₁ = 3; v₁ = 3;

u₂ + v₁ = 1; u₂ + 3 = 1; u₂ = -2;

u₁ + v₂ = 1; 0+ v₂ = 1; v₂ = 1;

u₁ + v₄ = 1; 0+ v₄ = 1; v₄ = 1;

u₃ + v₁ = 1; u₃+ 3= 1; u₃= -2;

u₃ + v₃ = 2; -2+ v₃ = 2; v₃ = 4.

	v1=3	v2=1	v3=4	v4=1
u1=0	3 15	1 20	2	1 20
u2= -2	1 40	4	1	3
u3= -2	1 10	2	2 50	3

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij :

(1;3) 0+ 4 > 2; Δ₁₃ =0 + 4 – 2 = 2;

(2;3) -2 + 4> 1; Δ₂₃ =-2 + 4 – 1 = 1.

max {(1;3) (2;3)} = 2.

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (1; 3): 2. 

Для цього в перспективну клітинку (1; 3) поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника будуть чергуватися знаки «-», «+», «-».

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3 15 [-]	1 20	2 [+]	1 20	55
А2	1 40	4	1	3	40
А3	1 10 [+]	2	2 50 [-]	3	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Цикл наведено в таблиці - клітинки (1,3; 3,3; 3,1; 1,1). 

З вантажів х_ij , які стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменший, тобто у = min (1, 1) =15. Додаємо 15 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 15 з х_ij , які стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3	1 20	2 15	1 20	55
А2	1 40	4	1	3	40
А3	1 25	2	2 35	3	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали U_i , V_i по зайнятим клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij , вважаючи, що u ₁= 0.

u₁ + v₂ = 1; 0+ v₂ = 1; v₂ = 1;

u₁ + v₃ = 2; 0 + v₃ = 2; v₃ = 2;

u₁ + v₄ = 1; 0+ v₄ = 1; v₄ = 1;

u₃ + v₃ = 2; u₃+ 2= 2; u₃= 0;

u₃ + v₁= 1; 0+ v₁= 1; v₁ = 1;

u₂ + v₁ = 1; u₂ + 1 = 1; u₂ = 0.

	v1=1	v2=1	v3=2	v4=1
u1=0	3	1 20	2 15	1 20
u2= 0	1 40	4	1	3
u3= 0	1 25	2	2 35	3

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij :

(2;3) 0 + 2> 1; Δ₂₃ =0 + 2 – 1 = 1.

max {(2;3)} = 1.

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (2; 3): 1. 

Для цього в перспективну клітинку (2; 3) поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника будуть чергуватися знаки «-», «+», «-».

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3	1 20	2 15	1 20	55
А2	1 40 [-]	4	1 [+]	3	40
А3	1 25 [+]	2	2 35 [-]	3	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Цикл наведено в таблиці - клітинки (2,3; 3,3; 3,1; 2,1). 

З вантажів х_ij , які стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменший, тобто у = min (2, 3) =35. Додаємо 35 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 35 з х_ij , які стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Постачальники	Споживачі					Запас ресурсу
	В1	В2	В3	В4
А1	3	1 20	2 15	1 20	55
А2	1 5	4	1 35	3	40
А3	1 60	2	2	3	60
Потреба у вантажі	65	20	50	20	155

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали U_i , V_i по зайнятим клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij , вважаючи, що u ₁= 0.

u₁ + v₂ = 1; 0+ v₂ = 1; v₂ = 1;

u₁ + v₃ = 2; 0 + v₃ = 2; v₃ = 2;

u₁ + v₄ = 1; 0+ v₄ = 1; v₄ = 1;

u₂ + v₃ = 1; u₂+ 2= 1; u₂= -1;

u₂ + v₁ = 1; -1+ v₁ = 1; v₁ = 2;

u₃ + v₁= 1; u₃+ 2= 1; u₃ = -1.

	v1=2	v2=1	v3=2	v4=1
u1=0	3	1 20	2 15	1 20
u2= -1	1 5	4	1 35	3
u3= -1	1 60	2	2	3

Опорний план є оптимальним, так як всі оцінки вільних клітин задовольняють умові u_i + v_i ≤ c_ij .

Мінімальні витрати складуть: