Норми витрат ресурсів на одиницю продукції

Ресурс	Норми витрат ресурсів на одиницю продукції по видах продукції				Запас ресурсу
	А	В	С
1	2	1	2	= 120
2	3	1	2	= 200
3	2	2	1	= 120
	= 2	= 3	= 4

Відома ціна одиниці продукції кожного виду: для А - ; для В - ; для С - (у. о.).

Визначити оптимальний план виробництва продукції в умовах обмеженості ресурсів, який дасть виробництву найбільший. Завдання розв'язати симплексним методом.

Розв'язання:

Припустимо, що буде виготовлено одиниць виробуА, одиниць виробу В, одиниць виробуС. Тоді для виробництва такої кількості виробів потрібно затратити ум. од. сировини першого виду.

Так як виробництво забезпечено сировиною першого виду в кількості 120 ум. од., то повинна виконуватися нерівність:

Аналогічні міркування відносно забезпеченості виробництва сировиною другого та третього виду приведуть до наступних нерівностей:

При цьому, так як кількість виробів не може бути від'ємною, то

_Тоді прибуток від реалізації даних виробів складе

Математична модель вихідної задачі:

Знайдемо розв'язок прямої задачі лінійного програмування симплекс–методом.

Запишемо цю задачу в канонічній формі задачі лінійного програмування. Для цього перейдемо від обмежень-нерівностей до обмежень-рівностей. Введемо три додаткові змінні, в результаті чого обмеження запишуться у вигляді системи рівнянь:

Ці додаткові змінні мають наступний економічний зміст – не використана при даному плані виробництва кількість сировини того чи іншого виду. Наприклад, - це невикористана кількість сировини першого виду.

Перетворену систему рівнянь запишемо у векторній формі:

де

Оскільки серед векторів є три одиничних вектори, для даної задачі можна безпосередньо записати опорний план: який визначається системою трьохмірних одиничних векторів , які утворюють базис трьохвимірного векторного простору.

Складаємо симплекс-таблицю для І ітерації, підраховуємо значення та перевіряємо вихідний опорний план на оптимальність:

- обчислюється скалярний добуток векторів та. А дляобчислюється скалярний добуток векторівта:

_{Для векторів базису}

_{Симплекс-таблиця І ітерації:}

і	Базис			2	3	4	0	0	0
1		0	120	2	1	2	1	0	0
2		0	200	3	1	2	0	1	0
3		0	120	2	2	1	0	0	1
				-2	-3	-4	0	0	0

Як видно з таблиці, значення всіх основних змінних рівні нулю, а додаткові змінні приймають свої значення у відповідності з обмеженнями задачі. Ці значення змінних відповідають такому «плану», при якому нічого не виробляється, сировина не використовується і значення цільової функції рівне нулю (тобто прибуток відсутній). Цей план, звичайно, не буде оптимальним.

Це видно ще й з 4-ого рядка таблиці, так як у ній є 3 від’ємних числа. Від’ємні числа не лише вказують на можливість збільшення загальної вартості продукції, що виробляється, але й показують, на скільки збільшиться ця сума при введенні в план одиниці певного виду продукції.

З економічної точки зору найбільш доцільним є включення в план виробництва виробів С. Це ж необхідно зробити і на основі формальної ознаки симплексного методу, оскільки максимальне за абсолютною величиною від’ємне число стоїть в 4-ому рядку стовпця вектора. Визначаємо вектор, який потрібно виключити з базису. Для цього знаходимодля, тобто –

Отже, вектор виключаємо з базису. Стовпчик вектора і перший рядок являються направляючими. Складаємо таблицю для ІІ ітерації.

Спочатку заповнюємо рядок вектора, введеного в базис, тобто рядок, номер якого співпадає з номером направляючого рядка. Отже, елементи 1-го рядка отримуються з відповідних елементів їх діленням на розв'язувальний елемент (тобто на 2). При цьому в стовпці записуємо коефіцієнт , який знаходиться в стовпці введеного в базис вектора.

Потім заповнюємо елементи стовпців для векторів, які входять в новий базис. В цих стовпцях на перетині рядків та стовпців однойменних векторів ставимо 1, а всі інші елементи – 0.

Для визначення інших елементів застосовуємо правило трикутника.

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Симплекс-таблиця ІІ ітерації.

і	Базис			2	3	4	0	0	0
1		4	60	1	1/2	1	1/2	0	0
2		0	200-2*60=80	3-2*1=1	1-2*1/2 =0	0	0-2*1/2 = - 1	1	0
3		0	120-1*60=60	2-1*1=1	2-1*1/2 =3/2	0	0-1*1/2 = -1/2	0	1
				2	-1	0	2	0	0

Отже, кінцева таблиця ІІ ітерації готова:

і	Базис			2	3	4	0	0	0
1		4	60	1	1/2	1	1/2	0	0
2		0	80	1	0	0	- 1	1	0
3		0	60	1	3/2	0	-1/2	0	1
				2	-1	0	2	0	0

Цей план не буде оптимальним, це видно з 4-ого рядка таблиці, так як у ній є 1 від’ємне число.

Включаємо в план виробництва виріб В, оскільки від’ємне число стоїть в 4-ому рядку стовпця вектора . Визначаємо вектор, який потрібно виключити з базису. Для цього знаходимодля, тобто –

Отже, вектор виключаємо з базису. Стовпчик вектора і третій рядок являються направляючими. Складаємо таблицю для ІІI ітерації.

Спочатку заповнюємо рядок вектора, введеного в базис, тобто рядок, номер якого співпадає з номером направляючого рядка. Отже, елементи 3-го рядка отримуються з відповідних елементів їх діленням на розв'язувальний елемент (тобто на 3/2). При цьому в стовпці записуємо коефіцієнт , який знаходиться в стовпці введеного в базис вектора.

Потім заповнюємо елементи стовпців для векторів, які входять в новий базис. В цих стовпцях на перетині рядків та стовпців однойменних векторів ставимо 1, а всі інші елементи – 0.

Для визначення інших елементів застосовуємо правило трикутника.

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Значення в 4-ому рядку стовпця векторазнаходимо за формулою:

Симплекс-таблиця ІІI ітерації.

і	Базис			2	3	4	0	0	0
1		4	60-1/2*40 =40	1-1/2*2/3 =2/3	0	1	1/2-1/2* (-1/3)= 2/3	0	0-1/2*2/3 = - 1/3
2		0	80-0*40 =80	1-0*2/3 =1	0	0	-1-0* (-1/3) = - 1	1	0-0*2/3 =0
3		3	40	2/3	1	0	-1/3	0	2/3
				8/3	0	0	5/3	0	2/3

Отже, кінцева таблиця ІІІ ітерації готова:

і	Базис			2	3	4	0	0	0
1		4	40	2/3	0	1	2/3	0	- 1/3
2		0	80	1	0	0	- 1	1	0
3		3	40	2/3	1	0	-1/3	0	2/3
				8/3	0	0	5/3	0	2/3

Новим опорним планом задачі є план . При даному плані виробництва виготовляється 40 виробів В, 40 виробів С і залишаються невикористаними 80 ум. од. сировини ІІ виду. Прибуток від виготовленої продукції при цьому плані 280 ум. од.

Знайдений план задачі являється оптимальним. Це видно з 4-ого рядка таблиці , оскільки всі числа додатні.

Отже, оптимальний план –.