ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1

Змістовий модуль 1 «Геометричні побудови на площині»

Варіант 1

1. Даним радіусом провести коло, яке проходить через дану точку і дотикається до даного кола .

2. Дано точку , пряму і коло . Побудувати квадрат так, щоб діагоналі його перетинались в точці , одна вершина належала прямій , а інша вершина – колу .

3. Побудувати трикутник, знаючи відношення його сторін і бісектрису найбільшого з його кутів.

4. Всередині кута АСВ знаходяться точки і . Знайти на сторонах кута точки і такі, щоб ламана була мінімальною.

5. Побудувати паралелограм за двома діагоналями і кутом між сторонами.

6. Через дану точку провести січну до даного кола так, щоб її зовнішня частина була втричі більша, ніж внутрішня.

7. Довести, що дві трапеції, сторони яких попарно рівні, також рівні.

Варіант 2

1. Побудувати трапецію за її діагоналями, кутом між ними та бічною стороною.

2. Побудувати прямокутний трикутник, якщо відомо його катет , середина гіпотенузи знаходиться в даній точці , а кінці гіпотенузи – один на даному колі , другий – на даній прямій .

3. Дано два концентричних кола. Побудувати квадрат так, щоб дві його суміжні вершини належали одному колу, а дві інші – другому.

4. У даний трикутник вписати другий трикутник так, щоб його сторони були відповідно паралельні сторонам даного трикутника.

5. Побудувати коло, яке дотикається до даної прямої в даній точці і до даного кола .

6. Побудувати відрізок ( і – дані відрізки).

7. На сторонах паралелограма поза ним побудовано квадрати. Довести, що їх центри утворюють квадрат.

Варіант 3

1. Між пунктами і проходить канал з паралельними берегами. Де треба вибрати місце для побудови моста через канал, щоб шлях від до був найкоротший?

2. Знайти геометричне місце точок, дотичні з яких до даного кола вдвічі менше січних, які проведені з цих же точок через центр кола.

3. Побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник так, щоб вершина його прямого кута знаходилась в даній точці , друга – на даному колі , а третя – на даній прямій .

4. Через точку перетину двох даних кіл провести пряму, на якій ці кола відсікають рівні хорди.

5. У даний трикутник вписати паралелограм з даним кутом і відношенням двох сторін паралелограма так, щоб дві вершини паралелограма лежали на основі, а дві інші – на бічних сторонах трикутника.

6. У дане коло вписати прямокутник, рівновеликий даному квадрату.

7. Протилежні сторони шестикутника паралельні та рівні. Довести, що шестикутник має центр симетрії.

Варіант 4

1. Побудувати ромб, дві суміжні вершини якого знаходяться у двох даних точках, а точка перетину діагоналей – на даному колі.

2. Між сторонами даного кута розмістити відрізок, рівний даному, так, щоб він відтинав від сторін кута рівні відрізки.

3. Побудувати правильний трикутник, висоти якого перетинаються в даній точці, а дві вершини лежать на даному колі.

4. Побудувати квадрат, дві протилежні вершини якого лежать на даній прямій , третя – на даній прямій , а четверта – на даному колі .

5. У даний сектор вписати квадрат.

6. Побудувати множину точок таких, що проведені з них дотичні до даного кола вдвічі менші січних, проведених із цих же точок через центр даного кола.

7. Довести, що образи даної точки при симетрії відносно середин сторін чотирикутника є вершинами паралелограма.

Варіант 5

1. Побудувати трапецію за основою , діагоналями і та кутом між діагоналями .

2. Побудувати трикутник за основою і протилежним кутом, якщо відомо точку на основі, через яку проходить бісектриса кута при вершині.

3. Побудувати паралелограм, точка перетину діагоналей якого знаходиться в даній точці , якщо відомі чотири його точки (по одній на кожній стороні).

4. Побудувати чотирикутник за його діагоналями, кутом між ними і двома суміжними сторонами.

5. Дано два кола та пряма між ними. Побудувати правильний трикутник так, щоб дві його вершини належали даним колам, а одна висота лежала на даній прямій.

6. Побудувати відрізок (– дані відрізки).

7. У крузі з центром проведено хорду . На радіусі , як на діаметрі, побудовано коло . Довести, що площі двох сегментів, які відсікаються хордою від обох кругів, відносяться як 4:1.

Варіант 6

1. Дано два концентричних кола і точка між ними. Через точку провести коло, дотичне до даних кіл.

2. Побудувати паралелограм, дві протилежні вершини якого знаходились би в даних точках, а дві – інші на даному колі.

3. Дано два кола і і точка . Побудувати квадрат, діагоналі якого перетинались би в точці , а дві протилежні вершини знаходились: одна – на колі , друга – на колі .

4. У даний кут вписати коло, що проходить через дану точку.

5. Дано точки і по один бік від прямої . Розташувати на прямій відрізок довжиною так, щоб ламана мала найменшу довжину.

6. Побудувати квадрат, площа якого вдвічі менша площі даного квадрата.

7. На катетах і рівнобедреного прямокутного вибрано точки і так, що . Прямі, що проведені через точки і перпендикулярно до , перетинають гіпотенузу відповідно в точках і . Довести, що .

Варіант 7

1. Побудувати чотирикутник АВСД , якщо дано його сторони і відомо, що діагональ АС ділить кут А навпіл.

2. Через дану точку в крузі провести хорду, яка при перетині з даною хордою поділяється навпіл.

3. Побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник так, щоб вершина його прямого кута знаходилась в даній точці , а дві інші – на двох даних прямих.

4. Побудувати трикутник, знаючи відношення його сторін і суму основи з висотою .

5. Кола і знаходяться по один бік від прямої . На прямій знайти таку точку, щоб дотичні, проведені з цієї точки до даних кіл, утворювали з прямою рівні кути.

6. Дано квадрат. Побудувати квадрат втричі меншої площі.

7. У трапеції діагоналі мають довжини і , – кут між діагоналями, – довжина основи . Знайти довжину основи .

Варіант 8

1. Побудувати паралелограм за двома сторонами і кутом між діагоналями.

2. Побудувати трапецію за різницею основ, діагоналлю та двома кутами, прилеглими до однієї основи.

3. Побудувати трикутник за основою, медіаною, що проведена до основи, і кутом при вершині.

4. Побудувати квадрат, якщо дано його центр і дві точки, через які проходять дві протилежні сторони квадрата.

5. Дано кут і всередині нього точка . Побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник, вершина прямого кута якого співпадає з точкою , а дві інші вершини належать сторонам кута.

6. Даний відрізок поділити на два так, щоб більший з них був середнім пропорційним між меншим і даним відрізком.

7. У трикутник вписано коло, до якого проведені дотичні, паралельні сторонам трикутника. Довести, що протилежні сторони утвореного шестикутника рівні.

Варіант 9

1. Побудувати трапецію за одним із її кутів, двома діагоналями та середньою лінією.

2. Побудувати квадрат , знаючи його центр і дві точки і , які належать прямим і .

3. Дано коло і прямі і . Побудувати рівносторонній трикутник так, щоб одна його вершина належала колу , друга – прямій , а висота, що проходить через третю вершину, – прямій .

4. Побудувати , знаючи кут А , основу і різницю квадратів двох інших сторін: (відрізок дано).

5. Дано кут АОВ і всередині нього точку . Побудувати на ОВ точку М , рівновіддалену від ОА і точки С .

6. Побудувати квадрат за різницею діагоналі та сторони.

7. Дано чотирикутник з прямими кутами і . Довести, що точки i симетричні відносно ортоцентра трикутника АВС .

Варіант 10

1. Вписати в дане коло трикутник, у якого відома сума двох сторін і кут, протилежний одній із цих сторін.

2. Дано відрізок. Побудувати рівний і паралельний йому відрізок так, щоб кінці його знаходились на двох даних колах.

3. Знайти та побудувати геометричне місце точок площини, сума квадратів відстаней яких до двох даних точок є сталою величиною.

4. Побудувати трикутник за двома кутами і радіусом вписаного кола.

5. Побудувати ромб так, щоб одна його діагональ була рівна даному відрізку і належала даній прямій , а дві інші вершини – відповідно двом даним прямим і .

6. Побудувати відрізок ( відрізок дано).

7. На сторонах паралелограма поза ним побудовані правильні трикутники. Довести, що їх центри є вершинами паралелограма.