1) То у стаціонарній точціфункціямає екстремум:— точка максимуму;— точка мінімуму;

2) — У точціфункціяне має екстремуму;

3) — Сумнівний випадок.

1.3.4. Гессіан

Другий диференціал функції багатьох змінних

(13)

є симетричною квадратичною формою відносно диференціалів незалежних змінних .

Означення. Матриця квадратичної форми (13), елемен- ти якої є частинними похідними другого порядку функції , тобто, називаєтьсяматрицею Гессе:

. (14)

Визначник матриці Н називається гессіаном.

У частинному випадку функції двох змінних достатні умови екстремуму з використанням гессіана формулюються так.

Теорема 1.22. Нехай функція z = f(x, y) двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки (x₀, y₀). Тоді точка (x₀, y₀):

1) Є точкою мінімуму, якщо в ній

2) є точкою максимуму, якщо в ній

3) не є точкою екстремуму, якщо

4) потрібне додаткове дослідження за допомогою диференціалів вищих порядків, якщо

.

Дослідити функціюна екстремум.

^●1. Знаходимо частинні похідні першого порядку:

,

2. Розв’язавши систему рівнянь

знаходимо стаціонарні точки і

3. Обчислюємо частинні похідні другого порядку:

,

4. У точці визначники ∆₁ і ∆₂ відповідно такі:

∆₁ = 6 > 0,

У точці маємо:

∆₁ = – 6,

5. Отже, за теоремою 1.22 точка є точкою мінімуму; у точціекстремуму немає.

Обчислюємо значення функції в точці мінімуму:

.

Дослідити функціюна екстремум.

1. Знайдемо частинні похідні першого порядку:

.

2. Розв’язавши систему

знайдемо стаціонарну точку .

3. Обчислимо частинні похідні другого порядку:

4. Матриця Гессе має вигляд:

.

5. У точці всі головні мінори цієї матриці додатні:₁ = 2, ₂ = 3, ₃ = 6.

Отже, у точці функція має мінімум

.

1.3.5. Поняття умовного екстремуму

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е — множина точок, координати яких задовольняють рівняння

(15)

Рівняння (15) називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Означення. Точка називаєтьсяточкою умов­ного максимуму функції відносно рівняння зв’язку (15), якщо існує такий окіл точки х⁰, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

Якщо за цих умов виконується нерівність

то точку називаютьточкою умовного мінімуму функції при обмеженнях (15).

Функціяz = xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, боz = (0, 0) = 0, а в точках (, ), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Означення. Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація (рис. 1.28).

Рис. 1.28

1.3.6. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (Метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку

,, (16)

можна розв’язати відносно m змінних, наприклад, відносно змінних :

……………………

,

то дослідження функції на умовний екстремум при обмеженнях (16) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функціїзмінних:

.

Знайти умовний екстремум функціївідносно рівнянь зв’язку:

,

^●Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінних x i y:

,

Підставимо знайдені значення x i y у вираз для u та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції

, , якщо ;

тому — точка максимуму функції.

Отже, задана функція у точці має умовний максимум, що дорівнює

1.3.7. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму

Нехай функції ,, , неперервно диференційовні в околі точкиі ранг матриці Якобі

(17)

у цій точці дорівнює m.

Означення. Функцію називають функцією Лагранжа, параметри —множниками Лагранжа.

Теорема 1.23. (Необхідна умова існування умовного екстремуму). Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функціїпри рівняннях зв’язку,необхідно, щоб її координати при деяких значенняхзадовольняли систему рівнянь:

Умови (18), (19) означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Доведення. Запишемо рівності виду (18)

, (20)

де, як і раніше, означають диференціали неявних функцій; похідні обчислені в точці

Візьмемо значення множників так, щоб перетворювалися на нуль коефіцієнти призалежних диференціалах :

(21)

.

Це зробити можна, оскільки визначник системи лінійних рівнянь (20), з яких визначаються , відмінний від нуля. При вибраних значеннях множників (20) набере вигляду

(22)

Тут ми знову маємо лише диференціали незалежних змінних, тому коефіцієнти при них мають бути нулями. Отже, поряд з (21) дістаємо

. (23)

Тепер для визначення невідомихта щеm множників маємо стільки ж рівнянь —m рівностей зв’язку і рівнянь:

.

Для того щоб спростити запис цих рівнянь, звичайно вводять допоміжну функцію

.

Тоді зазначені рівності можна подати у вигляді

. (24)

Теорема 1.24. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції ,,, двічі неперервно диференційовні в околі точкиі нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функціїпри обмеженнях (19).

Тоді в разі виконання умов

(25)

другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою. А це означає, що функціяу точцімає умовний строгий мінімум (максимум).

Якщо за умов (25) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точціумовного екстремуму немає.

Доведення. Припустимо існування і неперервність інших по- хідних для функцій f і . Нехай тепер точка разом із множникамизадовольняє сфор­мульовані раніше необхідні умови.

Висновок про існування в цій точці (відносного) екстремуму залежить від знака різниці

,

з тим лише істотним застереженням, що і точка задовольняє рівняння зв’язку (19). Легко зрозуміти, що для таких точок приріст функціїf можна замінити на приріст функції L (де всі множники ми вважаємо такими, що дорівнюють):

.

Оскільки в точці виконуються умови (24) — у цьому й полягає сенс переходу до функціїL, — зазначений приріст можна записати за формулою Тейлора:

,

де

,

і , якщо(останні прирости при цьому самі собою будуть нескінченно малими згідно з неперервністю функцій (21)).

Якщо замінити тут усі прирости відповідними диференціалами, то стосовнонезалежних змінних нічого не зміниться. Що ж до залежних змінних, то така заміна зумовлює лише необхідність узяти замість коефіцієнтів інші нескінченно малі:

.

Перехід до диференціалів зручний, оскільки диференціали залежних і незалежних змінних пов’язані системою лінійних співвідношень. З огляду на те, що визначник системи (20) у точці , за припущенням, — не нуль, то залежні диференціали можна лінійно подати через незалежні. Підставивши їх вирази у, замість першої суми дістанемо квадратичну форму відносно диференціалів .

А тепер можна показати, що коли ця форма буде визначеною і притому додатною (від’ємною), то в досліджуваній точці досягатиметься відносний мінімум (максимум), а якщо форма невизначена, то відносного екстремуму немає.

Знайти умовний екстремум функціївідносно рівняння зв’язку.

^●Функції u і  двічі неперервно диференційовні. Ранг матриці Якобі (17) в даному разі дорівнює 1 у всіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами (18), (19) дістанемо систему

з якої знайдемо ,приі,при. Отже, функціяu може мати умовний екстремум лише у двох точках: і. Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа:

; ,,

звідки .

Знайдемо перший диференціал функції : У точ­ках ідиференціалиі, пов’язані рівністю:

, або .

У разі виконання цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці є додатно визначеною квадратичною формою

,

а в точці — від’ємно визначеною формою

.

Отже, функція u в точці має умовний мінімум, а в точці— умовний максимум.