- •Линейная производственная задача
- •Двойственная задача
- •Задача о «расшивке узких мест производства»
- •Транспортная задача линейного программирования
- •Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений
- •Матричная модель производственной программы предприятия
- •Матричная модель производственной программы предприятия
Матричная модель производственной программы предприятия
Два игрока играют в матричную игру
-9 |
0 |
3 |
-1 |
3 |
2 |
-3 |
2 |
1 |
-2 |
4 |
-5 |
8 |
8 |
-7 |
2 |
-3 |
2 |
1 |
-2 |
Требуется найти решения игры для каждого игрока, а именно пару оптимальных стратегий, при которых каждому из игроков не выгодно отступать от них, поскольку это приведёт к их проигрышу.
Проведем анализ на доменирование и получим следующую матрицу:
-9 |
0 |
-1 |
3 |
2 |
-3 |
1 |
-2 |
4 |
-5 |
8 |
-7 |
При анализе игры на седловую точку, нижняя цена игры будет a= -3, верхняяb= 4. Решения в чистых стратегиях нет, будем искать решение в смешанных.
Прибавим к каждому элементу константу, равную 9. Решение игры при этом не изменится, а цена игры возрастет на 9 и будет больше 0.
Матрица примет следующий вид:
0 |
9 |
8 |
12 |
11 |
6 |
10 |
7 |
13 |
4 |
17 |
2 |
Пусть P= (p1,p2,p3) – стратегия первого игрока.Q= (q1,q2,q3 , p4),V– цена игры.
Проигрыш Второго игрока будет не больше чем цена игры v
0*q1+ 9*q2+ 8*q3+ 12q4<=V
11*q1+ 6*q2+ 10*q3+ 7q4<=V
13*q1+ 4*q2+ 17*q3+ 2q4<=V
Разделим каждое неравенство на V>0 и введемqi/V=xi ,i=(1...4)
Поскольку q1-4= 1, то переменныеx1,x2,x3 , x4 удовлетворяют условию
x1+ x2+x3+x4<=1/V
1/Vдолжна быть максимальна, таким образом имеем слудующую задачу.
Найти вектор x= (x1,x2,x3 , x4) , который обеспечивает
Z=x1+x2+x3+x4max
При ограничениях
0*x1 + 9*x2 + 8* x3 + 12 x4 <= 1
11*x1 + 6*x2 + 10* x3 + 7 x4 <= 1
13*x1 + 4*x2 + 17* x3 + 2 x4 <= 1
x1,x2,x3 , x4 >= 0
Найдем оптимальное решение этой задачи симплексным методом.
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
C |
Базис |
Hi |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
0 |
х5 |
1 |
0 |
9 |
8 |
12 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х6 |
1 |
11 |
6 |
10 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
х7 |
1 |
13 |
4 |
17 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
- |
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
1/9 |
0 |
1 |
8/9 |
4/3 |
1/9 |
0 |
0 |
0 |
х6 |
3/9 |
11 |
0 |
42/9 |
-1 |
-6/9 |
1 |
0 |
19 |
х7 |
5/9 |
13 |
0 |
121/9 |
-30/9 |
-4/9 |
0 |
1 |
|
- |
1/9 |
-1 |
0 |
-1/9 |
3/9 |
1/9 |
0 |
0 |
18 |
х1 |
1/9 |
0 |
1 |
8/9 |
4/3 |
1/9 |
0 |
0 |
0 |
х2 |
3/99 |
1 |
0 |
42/99 |
-1/11 |
-6/99 |
1/11 |
0 |
19 |
х7 |
16/99 |
0 |
0 |
785/99 |
-213/99 |
34/99 |
-13/11 |
1 |
|
- |
14/99 |
0 |
0 |
38/99 |
24/99 |
5/99 |
1/11 |
0 |
Zmax = 14/99, X = ( 1/9, 3/99, 0 , 0)
V = 1/ Zmax = 99/14, Q = ( 11/14, 3/14, 0, 0)
Для поиска оптимальной стратегии Первого игрока производим аналогичные преобразования. Учитываем, что V– это выйгрыш первого игрока, следовательно 1/Vтребуется минимизировать. Таким образом имеем следующую задачу:
Найти вектор Y= (y1,y2,y3 ) , который обеспечивает
L=y1+y2+y3min
При ограничениях
0*y1 + 11*y2 + 13* y3 => 1
9*y1 + 6*y2 + 4* y3 => 1
18*y1 + 10*y2 + 17* y3 => 1
12*y1 + 7*y2 + 2* y3 => 1
y1, y2, y3 , y4 >= 0
Эта задача является двойственной, по отношению к рассмотренной выше задаче. Решение задачи возьмем из последней строки симплексной таблицы.
Lmin = Zmax = 14/99, Y = ( 5/99, 1/11, 0)
V = 1/ Zmax = 99/14, P = ( 5/14, 9/14, 0)
Возвращаемся к исходной матрице игры. Решение этой игры имеет вид:
V = 0,
P = ( 5/14, 9/14, 0, 0)
Q = ( 11/14, 3/14, 0, 0, 0)