5. Динамическая задача управления производством и запасами.

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять одной партией заказы нескольких месяцев, а затем хранить изделия, пока они не потребуются, чем выполнять заказ в тот именно месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий. Обозначим:

x_j - число изделий, производимых в j -й месяц;

y_j - величина запаса к началу j го месяца (это число не содержит изделий, произведенных в j -м месяце);

d_j - число изделий, которые должны быть отгружены в j -й месяц;

f_j (x_j,y_j+1) - затраты на хранение и производство изделий в j -м месяце.

Будем считать, что величины запасов к началу первого месяца y₁ и к концу последнего y_n+1 заданы.

Задача состоит в том, чтобы найти план производства

(x₁, x₂, ..., x_n) (1)

компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса

x_j + y_j - d_j = y_j+1 j = 1,n (2)

и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период

(3)

причем по смыслу задачи

x_j  0, y_j  0, j = 1,n (4)

Прежде чем приступить к решению поставленной задачи, заметим, что для любого месяца j величина y_j+1 запаса к концу месяца должна удовлетворять ограничениям

0  y_j+1  d_j+1 + d_j+2 + ... + d_n (5)

т.е. объем производимой продукции x_j на этапе j может быть настолько велик, что запас y_j+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапах, но не

имеет смысла иметь y_j+1 больше суммарного спроса на всех последующих этапах. Кроме того, из соотношений (2) и (4) непосредственно следует, что переменная x_j должна удовлетворять ограничениям

0  x_j  d_j + y_j+1 (6)

Следует также заметить, что переменные x_j, y_j могут принимать только целые неотрицательные значения, т.е. мы получили задачу целочисленного нелинейного программирования.

Будем решать задачу (1)-(6) методом динамического программирования.

Введем параметр состояния и составим функцию состояния.

За параметр состояния  примем наличный запас в конце k -го месяца

 = y_k+1 (7)

а функцию состояния F_k() определим как минимальные затраты за первые k месяцев при выполнении условия (5)

(8)

где минимум берется по неотрицательным целым значениям x₁,...,x_k, удовлетворяющим условиям

x_j + y_j - d_j = y_j+1 j = 1, k-1 (9)

x_k + y_k - d_k =  (10)

Учитывая, что

(11)

и величина запаса y_k к концу (k-1) периода, как видно из уравнения (10), равна

y_k =  + d_k - x_k (12)

приходим к рекуррентному соотношению

(13)

где минимум берется по единственной переменной x_k, которая, согласно (6) может изменяться в пределах

0  x_k  d_k +  (14)

принимая целые значения, причем верхняя граница зависит от значений параметра состояния, изменяющегося в пределах

0    d_k+1 + d_k+2 + ... + d_n (15)

а индекс k может принимать значения

k = 2, 3, 4, ... , n (16)

Если k=1, то

F₁( = y₂) = min f₁(x₁, ) (17)

x₁

где

x₁ =  + d₁ - y₁ (18)

0   d₂ + d₃ + ... + d_n (19)

т.е. на начальном этапе при фиксированном уровне y₁ исходного запаса каждому значению параметра  отвечает только одно значение переменной x₁, что несколько уменьшает объем вычислений.

Применив известную вычислительную процедуру динамического программирования, на последнем шаге (при k = n) находим значение последней компоненты x_n* оптимального решения, а остальные компоненты определяем как

(20)

Рассмотрим более подробно функции затрат f_j(x_j, y_j+1) и рекуррентные соотношения. Пусть

_j(x_j) = ax_j² + bx_j + c

_j (x_j) - затраты на производство (закупку) x_j единиц продукции на этапе j;

h_j - затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа j в этап j+1.

Тогда затраты на производство и хранение на этапе j равны

f_j(x_j, y_j+1) = _j(x_j) + h_j y_j+1 = ax_j² + bx_j + c + h_j y_j+1. (21)

Выведенные ранее рекуррентные соотношения динамического программирования для решения задачи управления производством и запасами в нашем случае принимают вид:

(22)

где

k = 2, 3, ... , n (23)

0  y_k+1  d_k+1 + d_k+1 + ... + d_n (24)

0  x_k  d_k + y_k+1 (25)

y_k = y_{k+1 +} d_k - x_k (26)

Е

(27)

сли же k=1, то

(30)

(29)

(28)

Остается заметить, что полезно обозначить выражение в фигурных скобках через

_k(x_k, y_k+1) = ax_j² + bx_j + c + h_ky_k+1 + F_k-1(y_k) (31)

и записать рекуррентное соотношение (22) в виде

F_k(=y_k+1) = min _k(x_k, y_k+1) (32)

x_k

где минимум берется по целочисленной переменной x_k, удовлетворяющей условию (25).

Рассмотрим трехэтапную систему управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом.

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d₁=2 единицы, на второй – d₂=3, на третий - d₃=3 единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы продукции, т.е. начальный уровень запаса равен y₁=2. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h₁=3, h₂=2, h₃=3. Затраты на производство x_j единиц продукции на j-м этапе определяются функцией

_j(x_j) = 2x_j² + 3x_j + 4 (33)

т.е. а=2 b=3; с=4. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими.

Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой:

d₁ d₂ d₃ a b c h₁ h₂ h₃ y₁

2 3 3 2 3 4 3 2 2 2

Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем

F₁ ( = y₂), F₂ ( = y₃), ..., F_k ( = y_k+1), ... и соответственно находим ₁ (= y₂), ₂ ( = y₃ ), ...,  _k ( = y_k+1), ...

Положим k = 1. Согласно (27) имеем

(34)

Учтем, что согласно (28) параметр состояния  = у₂ может принимать целые значения на отрезке 0 у₂ d₂ + d₃ , т.е. у₂ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

При этом, вообще говоря, каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x₁, характеризуемая условием (29)

0 х₁ 2 + у₂

Однако, на первом этапе объем производства х₁ не может быть меньше единицы, так как спрос d₁ = 2, а исходный запас у₁ = 2. Более того, из балансового уравнения

х₁ + у₁ - d₁ = у₂

непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния = у₂ соотношением

x₁ = y₂ + d₁ - y₁ = y₂ + 2 - 2 = y₂ (35)

В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у₂ отвечает единственное значение х₁ и потому

F₁( = y₂) = ₁ (x₁, y₂)

Придавая у₂ различные целые значения от 0 до 6 и учитывая (35), находим

y₂ = 0, x₁ = 0, ₁ (0;0) = 0² + 30 + 4 + 30 = 4

y₂ = 1, x₁ = 1, ₁ (1;1) = 1² + 31 + 4 + 31 = 11

y₂ = 2, x₁ = 2, ₁ (2;2) = 2² + 32 + 4 + 32 = 20

y₂ = 3, x₁ = 3, ₁ (3;3) = 3² + 33 + 4 + 33 = 31

y₂ = 4, x₁ = 4, ₁ (4;4) = 4² + 34 + 4 + 34 = 44

y₂ = 5, x₁ = 5, ₁ (5;5) = 5² + 35 + 4 + 35 = 59

y₂ = 6, x₁ = 6, ₁ (6;6) = 6² + 36 + 4 + 36 = 76

. Значения функции состояния F₁( ) представлены в табл.

 = y2	0	1	2	3	4	5	6
F1 ( = y2)	4	11	20	31	44	59	76
x1(=y2)	0	1	2	3	4	5	6

Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F₂( = y₃) с помощью соотношения (32)

Здесь минимум берется по единственной переменной х₂, которая может изменяться, согласно (25), в пределах 0  x₂  d₂ + y₃ или 0  x₂  3 + y₃ (38)

где верхняя граница зависит от параметра состояния  = у₃, который, согласно (15), принимает значения на отрезке 0  y₃  d₃ , т.е. 0  y₃  3 (39)

а аргумент у₂ в последнем слагаемом справа в соотношении (37) связан с х₂ и у₃ балансовым уравнением x₂ + y₂ - d₂ = y₃

откуда следует y₂ = y₃ + d₂ - x₂ = y₃ + 3 - x₂ (40)

Придавая параметру состояния различные значения от 0 до 3, будем последовательно вычислять ₂ (x₂, ), а затем определять F₂( ) и ₂( ).

Положим, например  = у₃ = 2. Тогда, согласно (38), 0  x₂  5,

т.е. переменная х₂ может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, а каждому значению х₂ отвечает определенное значение у₂, вычисляемое по формуле (40): у₂ = 5 - х₂

Последовательно находим:

если x₂ = 0, то y₂ = 5-0 = 5, ₂ (0,2) = 0² + 30 + 4 + 22 + F₁(5) = 8 + 59 = 67,

x₂ = 1, y₂ = 5-1 = 4, ₂ (1,2) = 1² + 31 + 4 + 22 + F₁(4) = 12 + 44 = 56,

x₂ = 2, y₂ = 5-2 =3, ₂ (2,2) = 2² + 32 + 4 + 22 + F₁(3) = 18 + 31 = 49,

x₂ = 3, y₂ = 5-3 = 2, ₂ (3,2) = 3² + 33 + 4 + 22 + F₁(2) = 26 + 20 = 46*,

x₂ = 4, y₂ = 5-4 = 1, ₂ (4,2) = 4² + 34 + 4 + 22 + F₁(1) = 36 + 11 = 47.

x₂ = 5, y₂ = 5-5 = 0, ₂ (5,2) = 5² + 35 + 4 + 22 + F₁(0) = 48 + 4 = 52.

Н

29

аименьшее из полученных значений ₂ есть F₂ (2), т.е.

F₂ ( = y₃ = 2) = min ₂ (x₂,2) = min (67, 56, 49, 46, 47,52) = 46,

причем минимум достигается при значении х₂, равном ₂ ( = y₃ = 2) = 3

Аналогично для значения параметра  = у₃ = 3,. 0  x₂  6,

если x₂ = 0, то y₂ = 6-0 = 6, ₂ (0,3) = 0² + 30 + 4 + 23 + F₁(6) = 10 + 76 = 86,

x₂ = 1, y₂ = 6-1 = 5, ₂ (1,3) = 1² + 31 + 4 + 23 + F₁(5) = 14 + 59 = 73,

x₂ = 2, y₂ = 6-2 = 4, ₂ (2,3) = 2² + 32 + 4 + 23 + F₁(4) = 20 + 44 = 64,

x₂ = 3, y₂ = 6-3 = 3, ₂ (3,3) = 3² + 33 + 4 + 23 + F₁(3) = 28 + 31 = 59,

x₂ = 4, y₂ = 6-4 = 2, ₂ (4,3) = 4² + 34 + 4 + 23 + F₁(2) = 38 + 20 = 58*.

x₂ = 5, y₂ = 6-5 = 1, ₂ (5,3) = 5² + 35 + 4 + 23 + F₁(1) = 50 + 11 = 61.

x₂ = 6, y₂ = 6-6 = 0, ₂ (5,3) = 6² + 36 + 4 + 23 + F₁(0) = 64 + 4 = 68.

Наименьшее из полученных значений ₂ есть F₂ (3), т.е.

F₂ ( = y₃ = 3) = min ₂ (x₂,3) = min (86, 73, 64, 59, 58,61, 68) = 58,

причем минимум достигается при значении х₂, равном ₂ ( = y₃ = 3) = 4

 = у₃ = 0, 0  x₂  3,

если x₂ = 0, то y₂ = 3-0 = 3, ₂ (0,0) = 0² + 30 + 4 + 20 + F₁(3) = 4 + 31 = 35,

x₂ = 1, y₂ = 3-1 = 2, ₂ (1,0) = 1² + 31 + 4 + 20 + F₁(2) = 8 + 20 = 28,

x₂ = 2, y₂ = 3-2 = 1, ₂ (2,0) = 2² + 32 + 4 + 20 + F₁(1) = 14 + 11 = 25*,

x₂ = 3, y₂ = 3-3 = 0, ₂ (3,0) = 3² + 33 + 4 + 20 + F₁(0) = 22 + 4 = 26,

Наименьшее из полученных значений ₂ есть F₂ (0), т.е.

F₂ ( = y₃ = 3) = min ₂ (x₂,3) = min (35, 28, 25, 26) = 25,

причем минимум достигается при значении х₂, равном ₂ ( = y₃ = 0) = 2

 = у₃ = 1, 0  x₂  4,

x₂ = 0, y₂ = 4-0 = 4, ₂ (0,1) = 0² + 30 + 4 + 21 + F₁(4) = 6 + 44 = 50,

x₂ = 1, y₂ = 4-1 = 3, ₂ (1,1) = 1² + 31 + 4 + 21 + F₁(3) = 10 + 31= 41,

x₂ = 2, y₂ = 4-2 = 2, ₂ (2,1) = 2² + 32 + 4 + 21 + F₁(2) = 16 + 20 = 36,

x₂ = 3, y₂ = 4-3 = 1, ₂ (3,1) = 3² + 33 + 4 + 21 + F₁(1) = 24 + 11 = 35*,

x₂ = 4, y₂ = 4-4 = 0, ₂ (4,1) = 4² + 34 + 4 + 21 + F₁(0) = 34 + 4 = 38,

Наименьшее из полученных значений ₂ есть F₂ (1), т.е.

F₂ ( = y₃ = 1) = min ₂ (x₂,3) = min (50, 41, 36, 35, 38) = 35,

причем минимум достигается при значении х₂, равном ₂ ( = y₃ = 1) = 3

= у3	0	1	2	3
F2 (= y3)	25	35	46	58
(= y3)	2	3	3	4

Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F₃ ( = y₄):

Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента  = у₄ = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода, 0  x₃  3 + y₄

x₃ = 0, y₃ = 3-0 = 3, ₃ (0,0) = 0² + 30 + 4 + 20 + F₂(3) = 4 + 58 = 62,

x₃ = 1, y₃ = 3-1 = 2, ₃ (1,0) = 1² + 31 + 4 + 20 + F₂(2) = 8 + 46= 54,

x₃ = 2, y₃ = 3-2 = 1, ₃ (2,0) = 2² + 32 + 4 + 20 + F₂(1) = 14 + 35 = 49,

x₃ = 3, y₃ = 3-3 = 0, ₃ (3,0) = 3² + 33 + 4 + 20 + F₂(0) = 22 + 25 = 47*,

Наименьшее из полученных значений ₂ есть F₃ (0), т.е.

F₃ ( = y₄ = 1) = min ₃ (x₃,3) = min (62, 54, 49, 47) = 47,

причем минимум достигается при значении х₂, равном ₃ ( = y₄ = 0) = 3

Таким образом, мы получили минимальные общие затраты на производство и хранение продукции = 3

Рассмотрим случай, когда на последнем этапе планируем выпускать три единицы продукции

= 3.

Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что

х₃ + у₃ - d₃ = y₄

3 + у₃ - 3 = 0,

у₃ = 0.

Из таблицы значений находим

Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что

х₂ + у₂ - d₂ = y₃

2 + у₂ - 3 = 0

у₂ = 1.

Из таблицы значений находим

6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

1. Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:

W(P,Q)	a11		...		aij		...		amn
	p1q1		...		piqj		...		pmqn

Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то есть случайный проигрыш Второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и – Второй.

Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .

2. Рассмотрим подробно пример матричной игры с матрицей . Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.

Пусть матрица игры есть

3. Проведем анализ матрицы игры на доминирование:

А _2.4= ; ;

a_1.2=a_1.3= -2

a_2.2≥a_2.3, т.е 3 ≥ 1, значит 2-ый столбец доминирует над третьим, вычеркиваем его и получаем новую матрицу:

А`_2.3= ; ;

a_2.1=a_2.3= -2

a_1.1 ≤ a_1.3, т.е 1 ≤ 4, значит 3-ый столбец доминирует над 1-м, вычеркиваем его и получаем новую матрицу:

А``_2.2= ; ;

4. Проведем анализ матрицы игры на седловую точку:

Вывод: Так как , то в матрице игры нет седловой точки.

5. Так как седловой точки нет, решим задачу графически:

А= .

ν_j(x) – средний выигрыш 1-го в расчете на партию, когда он использует стратегию (х, 1-х), а 2-ой j-ую.

1.

2.

3.

4.

В озьмем на плоскости систему координат, по горизонтали оси вправо х, по вертикали оси – значения функции ν_j(x). Масштаб по осям выберем разный – ведь нужна только часть графиков – над отрезком [0;1]. Функции ν_j(x), i = 1, 2, 3 – линейные, значит, их графики – прямые линии I, II, III, VI соответственно. Находим нижнюю огибающую семейства четырех прямых над отрезком [0;1]. Это ломаная АВС. Высшая точка В. Она дает решение игры. Ее координаты определяются решением уравнения ν₁(x) = ν₃(x).

,

Таким образом, средний выигрыш 1-го при игре обоих игроков с оптимальными стратегиями, т. е. цена игры равна , а оптимальная стратегия первого игрока

8. Рассмотрим стратегию 2-ого игрока. Так как прямые , находятся выше точки О, то вероятности 2-ой и 4-ой стратегии равны 0, т.е ,

А``_2.2=

3y - 2 = -3y + 1

6y = 3 , т.е получаем :

Оптимальные стратегии и цена игры равны: ; и

Риски.

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:

			…				…
			…				…

Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то есть случайный проигрыш Второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и – Второй.

Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .

Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.

.

Так как , а через сумма обозначена .

Заметим, что в сумме можно оставить лишь те слагаемые, у которых

Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает -й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:

			…				…
			…				…

Е

34

сли есть оптимальная стратегия Первого, а , то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна , то есть равна . Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях и дисперсию или величины и . Пусть Как легко понять, если среди есть разные числа, то

Пусть игроки играют в матричную игру со стратегиями P, Q. Тогда выигрыш первого игрока есть случайная величина и ее среднее квадратическое отклонение называется риском игры со стратегиями P, Q и обозначается . Пусть игроки играют в матричную игру 2х4. В общем случае, второй игрок при своей оптимальной стратегии два столбца выбирать не будет, следовательно, фактически игра свелась к матричной игре 2х2. Обозначим оптимальные стратегии игроков в этой игре через P и Q. Найдем четыре риска , , , и найдем из них наименьший, это значение и называется риском игры.

Пусть матрица игры есть , цена игры , оптимальные стратегии игроков есть , .

1. Первый и второй игроки играют по оптимальной стратегии:

2. Первый игрок играет по оптимальной стратегии, а второй по 1-ой чистой (стратегия игрока от партии к партии остается неизменной):

3. Первый игрок играет по оптимальной стратегии, а второй игрок - по 2-ой чистой:

4. Первый игрок играет по 1-ой чистой стратегии, а второй игрок - по оптимальной:

5. Первый игрок играет по 2-ой чистой стратегии, а второй игрок - по оптимальной:

Минимальное значение можно назвать риском всей игры. Однако с таким риском можно играть лишь при согласии обеих сторон.

- 20 -