4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_j(x_j) прирост мощности или прибыли на j-том предприятии, если оно получит x_j рублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений х₁ + х₂ +...+х_n = b, причём будем считать, что все переменные x_j принимают только целые значения x_j =1,2,...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение - довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния  примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния F_k() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получат  рублей. Параметр  может меняться от 0 до b. Если из  рублей k-ое предприятие получит Х_к рублей, то каково бы ни было это значение, остальные -Х_к рублей естественно распределить между предприятиями от 1-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получена максимальная прибыль F_k-1(-x_k). Тогда прибыль k предприятий будет равна f_k(x_k) + F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

F_k() = max {f_k(x_k) + F_k-1(-x_k)}

0  X  

для k=2,3,....,n .Если же k=1 ,то

F₁()=f₁().

В нашем случае производственное объединение состоит из 4-х предприятий (n=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1где, например, число 76 означает, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 76 тыс. руб.

Таблица 1

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	42	58	71	80	89	95	100
f2(xj)	0	30	49	63	6	69	65	60
f3(xj)	0	22	37	49	59	68	76	82
f4(xj)	0	50	68	82	92	100	107	112

Прежде всего заполняем таблицe 2. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁(-x₂)=f₁(-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Продолжая процесс табулируем функции F₃(), x₃() и т.д. В таблице 6 заполняем только одну диагональ для значения =700.

Таблица 2

-х2		0	100	200	300	400	500	600	700
X2	F(-x2) f2(x2)	0	42	58	71	80	89	95	100
0	0	0	42*	58	71	80	89	95	100
100	30	30	72*	88	101	110	119	125	---
200	49	49	91*	107*	120	129	138	---	---
300	63	63	105	121*	134*	143*	---	---	---
400	6	6	48	64	77	---	---	---	---
500	69	69	111	127	---	---	---	---	---
600	65	65	107	---	---	---	---	---	---
700	60	60	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	42	72	91	107	121	134	143
2()	0	0	100	200	200	300	300	300

Таблица 4

-х3		0	100	200	300	400	500	600	700
Х3	F(-x3) f3(x3)	0	42	72	91	107	121	134	143
0	0	0	42*	72*	91	107	121	134	143
100	22	22	64	94*	113*	129*	143	156	---
200	37	37	79	109	128	144*	158*	---	---
300	49	49	91	121	140	156	---	---	---
400	59	59	101	131	150	---	---	---	---
500	68	68	110	140	---	---	---	---	---
600	76	76	118	---	---	---	---	---	---
700	82	82	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	42	72	94	113	129	144	158
3()	0	0	0	100	100	100	200	200

Таблица 6

-х4		0	100	200	300	400	500	600	700
Х4	F(-x4) f4(x4)	0	42	72	94	113	129	144	158
0	0								158
100	50							194	---
200	68						197*	---	---
300	82					195	---	---	---
400	92				186	---	---	---	---
500	100			172	---	---	---	---	---
600	107		149	---	---	---	---	---	---
700	112	112	---	---	---	---	---	---	---

Z_max = 197 тыс. руб., причем четвертому предприятию должно быть выделено х₄* = ₄(700) = 200 тыс. руб. На долю остальных трех предприятий остается 500 тыс. руб. Из Таблицы 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено х₃* = ₃(700 - х₄*) = х₃(500) = 100 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим х₂* = ₂(700 - х₄* - х₃*) = х₂(400) = 200 тыс. руб.

На долю первого предприятия останется х₁* = 700 - х₄* - х₃* - х₂* = 200 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

х1* = 200;	Zmax = 197
х2* = 200;
х3* = 100;
х4* = 200

Этот план обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 197 тыс. руб. В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство

f₁(x₁*) + f₂(x₂*) + f₃(x₃*) + f₄(x₄*) = Z_max

f₁(200) + f₂(200) + f₃(100) + f₄(200) = 58 + 49 + 22 + 68 = 197 = Z_max

Следовательно, полученные решения верны.