2. Двойственная задача

Некое предприятие, использующее те же ресурсы что и предприятие из предыдущей задачи, желает приобрести все эти ресурсы. Оно желает приобрести их по ценам y₁, y₂ и y₃ соответственно за единицу каждого из трёх ресурсов. Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие. Из условий предыдущей задачи нам известны затраты всех 3-х ресурсов для производства для каждого из 4-х видов продукции, количество ресурсов на производстве и прибыль от единицы каждой продукции:

Так как продажа ресурсов должна быть целесообразной, то прибыль от продажи единицы каждого вида продукции должна быть меньше, чем прибыль от продажи ресурсов в количестве равном затрате этих ресурсов для производства единицы продукции каждого вида.

Для производства продукции 1-ого вида требуется 3 единицы 1-ого ресурса, 4 единицы 2-ого ресурса и 4 единицы 3-его ресурса, что соответствует элементам 1-ого столбца матрицы А. Прибыль от продажи продукции 1-ого вида равна 30. Следовательно, для целесообразности продажи ресурсов прибыль от продажи 3 единиц 1-ого ресурса, 4 единиц 2-ого ресурса и 4 единиц 3-его ресурса должна быть больше, либо равна 30, т.е. прибыли от продажи продукции 1-ого вида:

Соответственные условия должны выполняться и для продукции других видов. Им соответствуют 2-ой, 3-ий и 4-ый столбцы матрицы А, а также 2-ой, 3-ий и 4-ый элементы матрицы-строки прибыли С:

Но при продаже требуется учитывать и интересы покупателя. Естественным желанием покупателя является снижение расходов. Так как предприятие желает закупить весь объём имеющихся ресурсов, то его затраты при ценах y₁, y₂ и y₃ составят , где коэффициенты приy₁, y₂ и y₃ - количество имеющихся ресурсов. Таким образом:

→min

Кроме того, так как цены не могут быть отрицательными, то .

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х(х₁,х₂,х₃) и у(у₁,у₂,у₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

x₁ (3y₁ + 4y₂ + 4y₃ - 30) = 0 y₁ (3x₁ + 2x₂ + 6x₃ - 150) = 0

x ₂ (2y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 11) = 0 y₂ (4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 5x₄ - 130) = 0

x ₃ (6y₁ + 3y₂ + 2y₃ - 45) = 0 y₃ (4x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 4x₄ - 124) = 0 .

x ₄ ( + 5y₂ + 4y₃ - 6) = 0

Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0 и х₃>0. Поэтому

3y₁ + 4y₂ + 4y₃ - 30 = 0

6y₁ + 3y₂ + 2y₃ - 45 = 0

Учитывая, что 3-ой ресурс был избыточным, то, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка , получим систему:

3y₁ + 4y₂ - 30 = 0

6y₁ + 3y₂ - 45 = 0 откуда следуету₁ = 6, у₂ = 3.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: у₁ = 6, у₂ = 3, у₃ = 0,

причем общая оценка всех ресурсов равна f_min = 900+390=1290

Заметим, что это решение содержалось в последней строке симплексной таблицы исходной задачи.

Данные значения y₁, y₂ и y₃ являются двойственными оценками соответствующих ресурсов, т.е. оценка единицы 1-ого ресурса равна 6, оценка единицы 2-ого ресурса равна 3, а оценка 3-его ресурса равна 0. Эти оценки являются «теневыми» ценами ресурсов. Экономически они указывают, на сколько увеличится прибыль при выполнении оптимальной производственной программы, если количество соответствующего ресурса увеличить на единицу, при неизменном количестве остальных ресурсов.