30. Задача распределения кап.Вложений: постановка,мат.Модель и реш-е методом динамич.Прогр-я.

Данная задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На кажд.шаге опр-ся экстремум ф-ии только от одной переменной.

Предположим, что указано n пунктов, где треб-ся построить или реконструировать предпр-я одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_i(x_i) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит x_i рублей кап.вложений. Треб-ся найти такое распредел-е Х(x₁,x₂,...,x_n) кап.вложений между предпр-ми, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли z=f₁(x₁)+f₂(х₂)+..+f_n(x_n)->max,

при ограничении по общей сумме кап.вложений x₁+x₂+...+x_n=b

причем будем считать, что все переменные x_j принимают только целые неотрицат.значения: x_j=0,или 1,или 2...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение-довольно трудоемкая экон.задача. Воспользуемся методом динамич.прогр-я для реш-я этой задачи.

Динамич.прогр-е - это вычислительный метод для реш-я задач управления опред.структуры.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния  примем кол-во рублей, выделяемых нес-ким предпр-ям, а ф-ию состояния F_k() определим как макс.прибыль на первых k предпр-ях, если они вместе получают  рублей. Параметр  может изменяться от 0 до b. Если из  рублей k-е предпр-е получит x_k рублей, то каково бы ни было это значение, остальные (-x_k) рублей естественно распределить между предпр-ями от первого до (k-1)-го так, чтобы была получена макс.прибыль F_k-1(-x_k). Тогда прибыль k предпр-й будет равна

f_k(x_k)+F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению F_k()=max{f_k(x_k)+F_k-1(-x_k)}

^{0  xk  }

для k=2,3,4,...,n. Если же k=1, то F₁()=f₁()

10.Задача оптимального производств.Планир-я и ее матем.Модель.

Предположим, что предпр-е.выпускает n видов прод.при исп-и m видов р-сов. Известны: технологич.мат-ца расходов i-го вида р-са на ед-цу j-го вида продукции – (а_ij), где i=1,…,m j=1,…m. Матрица запаса ресурсов b₁

B = b₂

….

b_n

Известны прибыль, полученная предпр-ем от пр-ва и реализации продукции j-го вида С=(с₁, с₂,…,с_n). Требуется составить план пр-ва продукции: X=(x₁,x₂,x₃,...x_n), при котором предпр-е получит наиб.прибыль. Суммарная прибыль предпр-я

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n ≤ b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n ≤ b₂

. . . . .

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n ≤ b_m.

где b_i-запас ресурса i-го вида,

x₁≥0, x₂≥0, ...x_n≥0.

Матем.постановка задачи:

Найти неотриц.значения переменных x_j, j=1,…n, при которых линейная форма

. Если переменная x_j удовл.след.ограничениям:

a_ijx_j ≤ b_i

x_j≥ 0; i=1,…m; j=1,…n.

31.Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Матричная игра двух лиц с нулевой суммой. Нижняя и верхняя цена игры, седловая точка.

В экономике часто встр-тся ситуации, в кот.сталк-ся 2 или более стороны, преследующие разл.цели, причем результат, полученный каждой из сторон при реализации определенной стратегии, зависит от действий других сторон.

Такие ситуации наз.конфликтными. Напр.: борьба фирм за рынок сбыта, аукцион, спорт.состязания, карточная игра.

Рассм.конфликт двух участников с противоположными интересами. Мат.моделью такого конфликта является игра с нулевой суммой. Участники игры наз.игроками.Стратегия игрока – это осознанный выбор одного из множества возможных вариантов его действий.

Рассмотрим конечные игры, в кот. множества стратегий игроков конечны; стратегии 1го игрока пронумеруем от 1 до m, а стратегии 2го игрока – от 1 до n.

Если 1й игрок выбрал свою i-ю стратегию, а 2й игрок свою j-ю стратегию, то рез-том такого совместного выбора будет платеж a_ij второго игрока первому (это необяз-но ден.сумма, a_ij – любая оценка последствий выбора игроками своих стратегий). Т.о., игра с нулевой суммой однозначно опред-ся платежной матрицей

а₁₁ а₂₁ а_1n

а₂₁ а₂₂ а_2n

П= ………………………………

а_m1 а_m2 а_mn

Строки соотв.стратегиям 1го игрока, столбцы – стратегиям 2го игрока. Игра происходит партиями Партия игры состоит в том, что игроки одновр-но называют свой выбор: 1й игрок наз-ет нек-рый № строки матрицы П (по своему выбору), а 2й, точно так же, - № столбца матрицы. После этого происх. «расплата». Пусть, напр, 1й игрок назвал номер i, а второй – j. Тогда 2й игрок платит 1му сумму a_ij (не обяз-но выраженную в ден.ед-цах). На этом партия игры заканч-ся. Если a_ij>0, это зн., что при выборе 1м игроком i-й стратегии, а вторым – jй стратегии выигрывает 1й игрок. Если же a_ij<0, это зн., что при данном выборе стратегий выигрывает 2й игрок. Цель кажд.игрока – выиграть как можно большую сумму в рез-те большого числа партий.

Стратегия наз.чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии. У 1го игрока, очевидно, есть m чистых стратегий, у второго –n. При анализе игр противник считается сильным (т.е.разумным).

Рассмотрим описанную конфл.ситуацию с т.зр.1го игрока. Если мы выбираем iю стратегию (строку матрицы П), то 2й игрок, будучи разумным, выберет такую стратегию,чтобы обесп.себе наиб.выигрыш, т.е.он выберет столбец матрицы П,в кот-м платеж a_ij(второго игрока первому) минимален.Переберем все наши стратегии i=1,2,…m и выберем такую из них,при кот. 2й игрок, действуя макс-но разумно, заплатит нам наиб.сумму. Вел-на наз.нижней ценой игры, а соотв.ей стратегия 1го игрока – максиминной.Т.е.1ый игрок, применяя свою максиминную стратегию,обеспечивает себе выигрыш не меньше a. Аналогично(но уже с т.зр.2го игрока)опр-ся верхняя цена игры

и соотв-я ей минимаксная стратегия 2го игрока. Т.е.2ой игрок, применяя свою минимаксную стратегию, не проиграет большем, чем .

В общем случае <. Если =, то игра им.седловую точку. Общее значение a и b наз.ценой игры:v=a=b; а стратегии игроков, соответствующие седловой точке,наз. оптимальными чистыми стратегиями (наиб.выгодные для обоих игроков), обеспечивая 1му игроку гарант.выигрыш не менее v, а 2му игроку – гарант.выигрыш не менее (-v).

32. Чистые и смешанные стратегии игроков.Мат.ожидание и дисперсия выигрыша.Оптим.стратегии и цена игры.Если выбор игрока не меняется от партии к партии–это чистая стратегия У 1го игрока m чистых стратегий, у 2го n.

При любой стратегии 1го игрока, 2ой игрок будет выбирать стратегию, обеспечив-ю ему наиб.выигрыш,поэт. с т.зр. 1го игрока надо выбирать такую стратегию, при кот-й 2ой игрок,действуя разумно,заплатит наиб. сумму.Такая стратегия 1го игрока наз. максиминной, а вел-на наз. нижней ценой игры.Т.е. 1ый игрок, применяя свою максиминную стратегию обеспечивает себе выигрыш не меньше a. Аналогично(с т.зр.второго игрока) опр-ся верхняя цена игры и соответствующая ейминимаксная стратегия 2го игрока. Т. е., принимая свою минимаксную стратегию 2й игрок проиграет не больше b.//В общем случае <. Если =, то игра им.седловую точку. Общ.значение a и b наз.ценой игры:v=a=b; а стратегии игроков, соответств-е седловой точке,наз. оптимальными чистыми стратегиями (наиб.выгодные для обоих игроков), обеспечивая 1му игроку гарант.выигрыш не менее v, а 2му игроку – гарант.выигрыш не менее (-v).

Смешанной стратегий 1го игрока наз. вектор P(p_1, p_2,…p_m ),где все p_i≥0 (i=1,2,…,m), а . при этомp_i -вероятность, с которой 1й игрок выбирает свою i-ю стратегию. Аналогично определяются смешанные стратегии Q(q₁,q₂,…q_n) 2го игрока. Чистая стратегия также попадает под определение смешанной – если все вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице.

Пусть игроки – 1й и 2й, играют в матричную игру с матрицей А=(a_ij).Пусть стратегия 1го есть Р, а 2го – Q.Тогда выигрыш 1го есть случ.вел-на (с.в.)W(P,Q)

Если игроки применяют свои смешанные стратегии P(p_1, p_2,…p_m )иQ(q₁,q₂,…q_n) соответственно, мат.ожидание выигрыша 1го игрока равно(и равно мат.ожиданию проигрыша 2го игрока). СтратегииP*(p₁*,p₂*,…p_m*) иQ*(q₁*,q₂*,…q_n*) соотв-но наз. оптимальными смешанными стратегиями 1го и 2го игрока, еслиM(P,Q*)≤M(P*,Q*)≤M(P*,Q).Если у обоих игроков есть оптим.смеш.стратегии, то пара (P*;Q*) наз.решением игры,а числоv=M(P*,Q*) – ценой игры (что явл. ср.выигрышем 1го игрока при игре обоих игроков с оптим.стртегиями).

В матричной игре с нулевой суммой у игроков есть оптим.стратегии.

Дисперсия выигрыша 1го при опт.стратегиях игроков: ,т.к., а через T_j обозначена сумма . Заметим, что в суммеможно оставить лишь те слагаемые, у которых q_j*>0.

Далее, если 1й играет в соотв.со стратегией P*, а Второй отвечает j-й чистой стратегией, то выигрыш 1го – с.в. W(P,Q) с рядом распредел-я: a_1j………a_ij……….a_mj

p₁*……...p_i*……....p_m*

Если Р*-опт.стратегия 1го игрока, а q_j*>0 то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш 1го при таких стратегиях по-прежнему =v, а дисперсия выигрыша 1го:,т.е. равна T_j-v².

Риски.Пусть D[W(P,Q)] есть дисперсия этой (W(P,Q)) случайной величины. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. W(P,Q), т.е. риском для 1го при игре со стратегиями P,Q. Поскольку выигрыш 1го есть проигрыш для 2го, то W(P,Q) есть случайный проигрыш 2го и r вполне естеств-но м.назвать риском игры с такими стратегиями и для 2го.