34.Графич.Реш-е игр. Упрощение игр с пом. Понятия доминир-я стратегий. (Графич.Реш-е игр с матрицей 2*n и m*2 доминирование чистых стратегий).

Строка k доминирует над строкой i, если все эл-ты строки k не меньше соответств.эл-тов строки i и хотя бы один строго больше. Доминируемую строку м.временно удалить, т.к. в оптимальной стратегии ей будет соответствовать вероятность ноль. Столбец l доминирует над столбцом j, если все его эл-ты не больше соответств.эл-тов столбца j, а хотя бы один строго меньше. Доминируемый столбец j можно временно удалить, т.к. в оптимальной стратегии 2-го игрока ей будет соответствовать вероятность ноль.

Пусть, например, A=, тогда: в матрице А 3-й столбец доминирует 2-й, поэтому исключим 2-й столбец из рассмотрения:A’=. Проверим, нет ли седловой точки, поскольку при ее наличии решение игры сразу ясно.max min a_ij = -2; min max a_ij= 1

Т.к.≠,седловой точки нет. Пусть 1й игрок выбирает свою первую стратегию с вероятностью х, а вторую-с вероятностью (1-х),т.е.он играет со смешанной оптим.стратегией (x,1–x). Обозначим _j(x)–ср.выигрыш 1го при условии, что 2й игрок выберет свою j-ю чистую стратегию. Имеем ₁(x)=4x-2(1-x), ₃(x)=-2x+(1-x). Возьмем на плоскости систему координат, по гориз.оси вправо отложим x, по вертик.оси–значения ф-ий _j(x). I ₁(x)=6x-2 ; III ₃(x)=-3x+1

Находим нижнюю огибающую семейства прямых (т.к.2й игрок выбирает свои стратегии, чтобы обесп.1му мин.выигрыш:v(p)= min{v₁(p),v₂(p)}. Отыщем ее высшую точку. Она и дает решение игры. Ее к-ты опред-ся реш-ем ур-ния ₁(x)=₃(x), откуда x*=1/3, *=₂(x*)=₃(x*)=0. Т.о., оптимальная стратегия Первого есть Р^*=(1/3;2/3), а цена игры *=0.

Обозначим вероятность выбора Вторым первого столбца через y, а третьего столбца–через (1-y). Воспользуемся утверждением, что M(1;y*)=*, т.е. 4y*-2(1-y*)=0, откуда y*=1/3. Т.о., оптимальная стратегия Второго Q*=(1/3;0, 2/3).

Ответ: оптимальная стратегия Первого-Р*=(1/3;2/3), оптимальная стратегия Второго–Q*=(1/3;0,2/3), цена игры *=-1/2. Она достигается в пяти вариантах игры: 1.P*Q*; 2.P¹Q*; 3.P²Q*; 4.P*Q¹;5.P*Q³

Где Pⁱ i-я чистая стратегия Первого игрока, а Q^j j-я чистая стратегия Второго игрока.

Рассчитаем риски во всех эти случаях. Риски максимальны в 4) и 2); минимальны в 3) и 5). Соотв-но, 4) и 2) - модели конкуренции, а 3) и 5) - сотрудничества.

Если игроки договорятся играть по 3) или 5) вариантам,т.е.:

3) Первый по 2-й чистой стратегии, а Второй по оптимальной стратегии или

4) Первый по оптимальной, а Второй по3-й чистой стратегии,

то они смогут сократить риск игры по сравнению с оптимальными стратегиями (с 2 до ), при этом цена игры останется такой же, как если бы оба они играли по оптимальным стратегиям.

13.Геометрич/интерпретация ЛП.Точка экстремума как одна из вершин выпуклого многогр-ка (многогранного мн-ва допустимых решений).Допустимые реш-я х образуют в мн-ве точек допустимую область, кот-я явл. пересечением замкнутых полуп-в.Эта область-многогранник в n-мерном пространстве (далее - п-ве), гранями кот-го служат участки гиперплоскостей вида или. Мн-во наз.выпуклым, если вместе с любыми 2мя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки. Полуп-во–выпуклое мн-во, допустимый многогранник также явл-ся им. Замкнутым наз.мн-во, содержащее все свои граничные точки. Угловые точки выпуклого мн-ва–точки, не являющиеся выпуклой комбинацией двух разл.точек мн-ва. Выпуклое замкнутое ограниченное мн-во на плоскости, имеющее конечное число точек, наз.выпуклым многоуг-ком. Многоуг-к решений м.б.точкой, лучом, отрезком, многоуг-ком и неограниченной многоуг.областью. Задача ЛП - в отыскании таких точек многоуг-ка, координаты которых обесп.целевой ф-ии мин.\макс. значения. Гиперплоскость–мн-во точек х с координатами, удовлетворяющими линейному ур-нию. Многогранник–пересечение конечного числа полуп-в.

Рассм.выпуклый многогр-к D_i,кот.образ-ся пересечением области неотриц.знач-й переменных (x_j≥0, j=1,…,n) с одним из замкнутых полуп-в . Иными словами, этот многогр-к порожденi-м ограничением задачи ЛП и условием неотриц-ти переменных. Допустимая область-пересеч-е всех таких многогр-ков,т.е. Гранями многогр-ка служат участкиn корд.гиперплоскостей (x_j=0) и граничной плоскости , а вершинами–начало к-т О(0,…,0) иn точек А_j(0,…,0,x⁰_ij,0,…,0),где x⁰_ij=b_i/a_ij. С содержат.т.зр., x⁰_ij- это интенсивность j-го производств.процесса,при которой использ-ся все р-сы i-го вида. Если x⁰_ij<0, то т. А_j не м.б.вершиной многогр-ка D_i,т.к.он явл. частью области неотрицат-ти переменных. Если 0≤x⁰_ij≤ для всех j=1,..n, то D_i- замкнутый огранич.многогр-к,в прот.случае он неограничен. В случае 0<x⁰_ij< мн-во D_i явл.симплексом,т.е.мн-вом всех выпуклых комбинаций точек О,А_j. Т.о.,допустимая область всегда не пуста, но м.б. неограниченной.//Допустимый многогр-к имеет не больше Cⁿ_n+m вершин. (кажд. вершина явл.пересеч-ем n гиперплоскостей из общего числа m+n;где m-граничных и n-координатных).//Гиперпл-ть cx=C=const явл.гиперпл-ю ур-ня,на кот.ф-ия цели приним. постоянное знач-е С. Сечение этой гиперпл-ю многогр-ка D (С-сечение) явл.многогр-ком в (n-1)-мерном п-ве. Все точки д.сечения явл.допустимыми реш-ми,т.к.ониD,и допуст.реш-я х-ся постоянством ф-ии цели.//При измен-и С от - до + возм-ны случаи:1.начиная с нек-рого знач-я C₀ все сечения пусты,т.е. задача не им.реш-я,т.к.допуст.знач-я ф-ии неогранич-но растут. 2.при C₀≤С≤С* все сечения не пусты,тогда оптим.реш-е сущ-ет. //Если сущ.оптим.реш-е,то С*-сечение м.б. вершиной, ребром ((n-2-мерным, …одномерным) или гранью.//Если гиперпл-ть С* сод.грань многогр-ка D,то все точки этой грани оптимальны.//Если гиперпл-ть С* сод.ребро D,то все точки ребра образуют С*-сечение и явл.оптимальными.//Если в С*-сечении оказ-сь только одна точка,то она оптим.и явл.вершиной многогр-ка D.// Если оптим.реш-ми явл.все точки грани или ребра,то опт.реш-ми будут и вершины многогр-ка,принадлежащие грани/ребру.// Т.о.,реш-е задачи ЛП надо искать среди вершин допустимого многогр-ка,т.е. среди крайних точек допустимой области D. //Крайней точкой выпуклого мн-ва наз. принадлежащая ему точка,кот.не м.б. предст.как лин.выпуклая комбинация нек-рых принадлежащих мн-ву точек. Поскольку число вершин (крайних точек) конечно,то алгоритм реш-я задачи, основанный на переборе крайн.точек,д.б. конечен. Наиб.распр.метод реш-я задачи ЛП – симплекс-метод. Суть его:при переходе от одной крайн.точки к другой так выбирать последнюю, чтобы ф-ия цели возрастала.

19.Метод искусств.базиса. Прямая и двойств.задача ЛП. Правило составл-я двойств.задачи для данной задачи ЛП с ограничениями-неравенствами (симметричн.пара двойств.задач ЛП). Если задача не имеет предпочитаемого вида: Минимизировать L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n, при ограничениях:

а₁₁x₁+a₁₂x₂ +...+a_1nx_n=b₁,

а₂₁x₂ + a₂₂ x₂ +...+a_2nx_n=b₂,

... ... ... ...

а_m1x_m + a_m2x₂ +...+a_mnx_n=b_m

и x_j≥0, j = 1,2,...n (3).

,то к ней нельзя применять симплекс.метод, поэт.к левой части кажд.ур-ния системы добавляется по одной искусств.неотрицат.неизвестной:

а₁₁x₁+a₁₂x₂ +...+a_1nx_n+ =b₁,

а₂₁x₂ + a₂₂ x₂ +...+a_2nx_n+ x_n+2=b₂, (1)

... ... ... ...

а_m1x_m + a_m2x₂ +...+a_mnx_n +x_n+m=b_m

где x_j≥0, j = 1,2,...n (2).

x_n+i≥0

Неизвестные x_n+1, x_n+2, x_n+m образуют базисный набор,кот.наз.искусственным. Образуем искусств.лин.форму(целев.ф-ию): S=x_n+1+x_n+2+…+x_n+m. Вспомогат.целевая ф-ия д.стремиться к min. Для реш-я вспомогат.задачи уже м.применять симплекс.метод,т.к.система им.предпочит. вид., искусств.неизв-е явл.базисными, а правые части всех ур.неотриц-ны.Если S_min>0, то исх.задача не им.решения ввиду противоречивости условий. Если S_min=0, то искусств.базис=0. В этом сл. отбрасываем искусств.базис и, рассматривая результат как предпочитаемый эквивалент исх.задачи, приступаем к реш-ю исх.задачи. Эти рассуждения справедливы к невырожденной задаче. Если же задача является вырожденной, то может случиться, что при S_min=0 не все искусств.переменные выведены из базиса. Тогда следует учесть, что правая часть ур-ния, сод-го искусств.базисную неизвестную, д.б.равна нулю, и потому мы можем либо отбросить это ур-ние, если оно содержит только искусств.неизвестные, либо, если оно содержит хотя бы одну из исх.неизвестных, принять это ур-ние за разрешающее и исключить к-н из этих неизвестных из всех других ур-ний, чтобы вытеснить искусств.базисную неизвестную в число свободных, помня, что в случае необх-ти м.рассматриваемое ур-ние умножить на (-1).

На практике вместо последоват.минимиз-и двух ф-ий S и L часто рассм-ют одну целевую ф-ию:

F=c₁x₁+…+c_nx_n+M(x_n+1+…+x_n+m), где число M>0 и больше любого числа, с кот-м его придется сравнивать; и решаем задачу минимизации F при условиях (1) и (2).

Рассм.ситуацию, когда предприниматель, занимающийся пр-вом каких-то других видов прод., но с использованием таких же видов р-сов, какие есть у нас, предлагает нам уступить ресурсы за цены y1,y2…. В данном случае возникает двойств.задача. Вел-ны у1,у2… наз.расчетными или двойств.оценками р-сов.Они зав.от условий, в кот.действует наше предприятие. Конкурент не хочет проиграть в цене, а производитель не хочет переплачивать. Объединяя эти условия, получаем двойств.задачу: yb->min, где у–цена (оценка) ,b–ресурсы (расход ресурсов*цену>прибыли от использования). Прямой задачей остается: сx->max (расход ресурсов за изделия*количество изделий<ресурсов). Двойств.задача получается из исх.так: 1.Каждому ограничителю-неравенству исх.задачи ставится в соотв-е переменная двойств.задачи, принимающая неотриц. значения. 2.Матрица неизвестных при коэффициентах транспонируется. 3.Правые части ограничений заменяются коэф-тами целевой функции. 4.Меняются направления неравенств, коэф-ты целевой функции заменяются правыми частями ограничений. 5.От максимизации (минимизации) ф-ии цели переходят к минимиз-и (максим-ии).

Число переменных двойств.задачи равно числу ограничений прямой задачи, а число ограничений двойственной задачи – числу переменных прямой задачи. Оптимальное реш-е наз.вектором «теневых» цен р-сов.

(найти план x(x₁,…,x_n),позвол.получить mах.прибыль) (ограничения по р-сам), x_j≥0 –исх.задача

(найти вектор оценок р-сов у(у₁,…,у_m), min-щий суммарн.оценку всех р-сов), ,y_i≥0 – двойств. задача.

Симметричная пара двойственных задач ЛП.Говорят, что задачи ЛП образуют симметричную пару. Если же система ограничений исх.задачи сод.как нер-ва, так и ур-ния, то в двойств.задаче переменная, отвечающая ограничению-равенству, может принимать значения любого знака, а ограничению-неравенству будет соотв-ть неотрицат.переменная, т.е. пара двойств. задач м.б.записана в виде: для i=1,…k,

для i=k+1,k+2,…m,

x_j≥0, j=1,2,…l,

x_j любого знака, j=l+1,l+2,…n

, y_i≥0 y_i любого знака.

25.Условие устойчивости двойств.оценок [ответ на вопрос правильный, только корявый. Подобрать более разумные слова.]. При реш-и задачи о «расшивке узких мест пр-ва» нам нужно заказывать недостающие ресурсы дополнительно. Пусть T(t₁,t₂,t₃) –вектор доп. объемов р-сов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки р-сов, то для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок: ,

где H – матрица полученных нами при решении задачи последовательного улучшения производств.программы значений x в производств.программе: (в курсовой это были ненулевые значения иксов, напр. при оптим.производств.программе

X_опт.=(27,0,0,20(0,13,0) матрица Н будет выглядеть так: 27

.13

20 )

Q^-1 – это матрица из той же первой задачи (находится в последнем преобразовании симплексной таблицы, берутся числа для х₅,х₆,х₇ (т.е. для остатков р-сов 1го,2го и 3го вида соотв-но), например:

Базис………….х₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇

х₁…………………………………1…0…-1

х₆…………………………………2…3…10

х₄………………………………2/3…1…..5

Числа, выделенные жирным шрифтом и являются матрицей Q^-1.

Как получаем ектор T: если мы получили опт.производств. программу X_опт.=(27,0,0,20(0,13,0), то дополнительно придется заказывать 1й и 3й ресурс (что видно из (0,13,0)), и вектор Т будет выглядеть так: t₁

t₂

t₃

Итак, в нашем примере условие устойчивости будет выглядеть так:

27 1 0 -1 t₁ 0

13 + 2 3 10 * t₂ ≥ 0

20 2/3 1 5 t₃ 0

29.Трансп.задача с нарушенным балансом пр-ва и потребления. Рассмотрим 3 простейших случая реш-я задач с нарушенным условием (норм.усл-е: ):

1.Пусть ,т.е. суммарные запасы продукции больше суммарн.потребностей в ней. Если безразлично, у кого из поставщиков останутся излишки прод.,то реш-е сводится к реш-ю закрытой трансп.задачиx_ij≥0 путем введения дополнит-го фиктивного (n+1)-го потребителя, запросы которого составляют . Значения с_{i n+1} полагаем равными 0 и решаем вспомогат.задачу с (n+1) потребителем и m поставщиками. При этом продукция xi n+1, планируемая для перевозки к фиктивному потребителю, остается на i-м складе;

2.пусть .Если безразлично, какой из потребителей недополучит продукцию,то трансп. задача сводится к реш-ю закрытой трансп.задачи (условия которй указаны выше) путем введения доп.фиктивн. (m+1)-го поставщика с запасом продукции. При этом значения с_{m+1 j} полагаем равными 0, что обеспечивает, как и в предыд.случае, равенство целевых ф-ий исходных и соответствующих им вспом.задач. Значения х_{m+1 j} в реш-и вспом.задачи будут обозначать вел-ну неудовлетворенного спроса j-го потребителя.

3.Пусть снова и нам не безразлично, какой потребитель и ск-ко продукции недополучит. Вводим доп.фиктивн.поставщика с запасом продукции. Примем значения с_{m+1 j} равными вел-не убытка, который несет j-й потребитель при недополучении им ед-цы продукции. При этом переменные х_{m+1 j} =вел-не неудовлетворенного спроса j-го потребителя. После введения дополнит.фиктивного поставщика задача сводится к реш-ю закрытой трансп.задачи, однако теперь целевая ф-ия вспомогат.задачи будет предст.собой сумму всех трансп.расходов и убытков,кот-е несут потребители при недополучении ими продукции: