20.Осн.Нер-во теории двойств-ти.

Для любых допустимых решений х(х₁,х₂,..х_n) и y(y₁,y₂,..y_n) прямой и двойственной задач ЛП справедливо нер-во:

Док-во: Учитывая соотношения и, получаем

Малая теорема двойственности. Для сущ-я оптимального реш-я любой из задач двойств.пары необх-мо и дост-но сущ-е допустимого реш-я для каждой из них.

21.Достаточное условие оптимальности реш-й пары двойств-задач лп.

Если для нек-рых допустимых реш-й х* и у* пары двойств-задач выполнено равенство: То векторы х* и у* явл. оптимальными решениями соотв.задач ЛП.

Док-во: Согласно осн.нер-ву теории двойств-ти любое реш-е исх.задачи удовл.условию Откуда, учитывая соотношение, получаем, и т.к. это нер-во справедливо для любого реш-я х исходной задачи, то реш-е х* явл.оптимальным для исх.задачи. Аналогично док-ся оптимальность реш-я у* двойств.задачи.Теорема доказана.

Экон.смысл: план пр-ва продукции и вектор оценок р-сов явл.оптимальным, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка р-сов совпадают.

22.Первая осн.теорема двойств-ти и ее экон.смысл.Если одна из задач двойств.пары им.оптимальное реш-е, то и другая имеет опт.реш-е, причем экстремальные значения линейных форм равны; если же линейная форма одной из задач не ограничена, то система условий другой задачи противоречива.

Экон.смысл: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов.

23. Вторая осн.Теорема двойственности

Чтобы допустимые решения х*(х₁*,х₂*,..х_n*) и y*(y₁*,y₂*,..y_n*) пары двойств.задач являлись оптимальными решениями этих задач,необх-мо и дост-но вып-е условий:, j=1,2,…n

, i=1,2,…m

Т.о.,если к-л нер-во системы ограничений одной из задач не обращается в точное рав-во оптимальным реш-ем этой задачи, то соотв.компонента оптимального реш-я двойств.задачи д.б.равна 0. Если же к-л компонента оптимального реш-я одной из задач положит-на,то соотв-ее ей ограничение в двойств.задаче д.обращаться в точное рав-во.

Др.словами:1)если х_j^*>0,то ; 2)если, тоx_j^*=0; 3)если y_i^*>0, то ; 4)если

,то y_i^*=0. j=1…n, i=1…m

Если по оптимальному плану расход i-го р-са < его запасов, то оценка этого р-са=0. если же оценка>0, то расход этого р-са = его запасу.Т.о.,дефицитный (полностью используемый по опт.плану) ресурс им. положит.оценку в двойств.задаче, а недефицитный – нулевую оценку.

С т.зр.пр-ва: если оценка р-сов, расходуемых по j-ой технологии > цены продукта, то j-ая технология не применяется (x_j=0). Если же по некот. плану j-ая технология применяется (x_j>0), то оценка р-сов, расходуемых по данной технологии, = цене продукта.

24.Третья теорема двойственности.

Значения переменных y_i* в оптимальном реш-и двойств.задачи предст.собой оценки влияния правых частей b_i системы ограничений исх.задачи на вел-ну максимума ее целевой ф-ии:

Т.о.,увел-е правой части i-го ограничения приводит к увел-ю или уменьш-ю z_max в зав-ти от того, будет ли y_i* положит-м или отриц-м;при этом скорость изменения z_max опред-ся вел-ной |y_i*| .

Экон.смысл: двойств.оценка р-са – это приращение прибыли, приходящееся на ед-цу приращения этого р-са. Здесь речь идет лишь о достаточно малых приращениях р-сов,т.к. измен-е вел-ны b_i в нек-рый момент вызовет измен-е оценок y_i. Оценки позв. выявить направление мероприятий по расшивке «узких мест» произ-ва для получения наиб.э.эффекта.