15. Симплекс.Метод лп: иссл-е данного баз.Допустимого реш-я на оптимальность, условия оптимальности в случае минимизируемой и максимизируемой функции цели.

Из выражения L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n (1) следует, что баз.реш-е x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 (2) явл.оптимальным реш-ем задачи ЛП L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n ,при условиях:

x₁ + g_1,m+1x_m+1 + ... + g_1nx_n = h₁,

x₂ + g_2,m+1 x_m+1 + ... + g_2nx_n = h₂,

... ... ... ...

x_m + g_m,m+1 x_m+1 + ... + g_mnx_n = h_m

и x_j≥0, j = 1,2,...n, тогда и только тогда, когда в ур-нии L=∆_m+1x_m+1+...+∆_nx_n=L₀ среди коэф-тов ∆_j при неизвестных нет ни одного положит-го, т.е. условие оптимальности им.вид: ∆_j ≤0, j=1,2,...n.

Действительно, если в общем реш-и x_i=h_i-g_i,m+1x_m+1-...-g_inx_n, i=1,2,...,m мы станем придавать разл.неотриц.знач-я своб. неизвестным так, чтобы соотв.базисные неизв-е принимали неотр.знач-я, то одновр-но с частными неотриц.реш-ми с-мы ограничений будем получать согласно выр-ю (1), соотв-е им знач-я целевой ф-ии. В частности, при нулевых знач-ях своб. неизв-х получится баз.реш-е (2) и соотв.ему знач-е лин.формы L₀=c₁h₁+c₂h₂+...c_mh_m+c_m+1*0+...+c_n*0 = c_i h_i

16. Симплекс.метод ЛП: условие единственности базисного оптимального решения.При вып-и усл-я оптимальности баз.реш-е x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 будет единственным оптимальным реш-ем задачи ЛП тогда, и только тогда, когда все коэф-ты ∆_m+1, ∆_m+2,…, ∆_n при своб. неизвестных в последнем уравнении вспомогат.системы

x_i + g_ijx_j =h_i,i= 1,2,...m, (1)

L + ∆_jx_j = L₀

строго отриц-ны. Если же хотя бы один из коэф-тов при своб.неизвестных =0, то будут и небаз.оптимальные решения.

17.Симплексный метод: условие неограниченности целевой ф-ии на множестве допустимых решений.

Если есть хотя бы одна своб.неизвестная, такая что коэф-т ∆_j при ней в последнем ур-нии системы (1) положителен, а в первых m ур-ниях той же системы среди коэф-тов g_1j, g_2j, …g_mj при ней нет ни одного положит-го, то задача ЛП неразрешима в силу неограниченности лин.формы L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_nна мн-ве неотрицат.решений системы ограничений

x₁ + g_1,m+1x_m+1+...+g_1nx_n=h₁,

x₂ + g_2,m+1x_m+1+...+g_2nx_n=h₂, (2)

... ... ... ...

x_m+g_m,m+1x_m+1 +...+ g_mnx_n=h_m.

18. симплекс.метод ЛП: переход от одного базисного допустимого реш-я к другому. Правила выбора разр.неизвестной и разр.ур-ния, их обоснование. Монотонность и конечность симплексного алгоритма для невырожденной задачи ЛП, понятие о зацикливании.

Т.к.неизвестная x_s при нулевых знач-ях др.своб.неизвестных не м.возрастать неограниченно, а целевую ф-ю мы хотим min-ть, то придадим неизвестной x_s наиб.знач.,кот.она м.принять, тем самым выделив из общего реш-я крайнее неотрицат.реш-е системы ограничений. Это крайнее реш-е совпадает с новым баз. неотрицат.реш-ем, соответствующим новому предпочитаемому виду системы, для получения которого достаточно принять неизвестную x_s за разр-ю и подвергнуть систему симплекс.преобраз-ю. Если

min = , то за разр.ур-е берем r-е. как только мы получим новое баз.неотрицат.реш-е системы ограничений, придется это реш-е иссле.ть на оптимальность.

Процесс перехода к новым и новым реш-ям продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное реш-е (или не будет доказана неогранич-ть лине.формы на мн-ве реш-й системы ограничений, но это утверждение справедливо лишь при условии невырожденности задачи, т.е. ни на одном этапе процесса реш-я ни один из своб.членов системы ур-й не обращается в нуль. Новое знач-е.лин.формы строго < предыд-го и через конечное число шагов мы придем к оптимальному реш-ю (или докажем неразрешимость задачи). В вырожденном случае на одном или нес-ких этапах своб.член м.оказ-ся равны нулю, и знач-е лин.формы не изменится. Появится возможность цикла.