9.Обратная матрица и отыскание ее методом Гаусса.

Пусть задана кв.матрица А.Если сущ. матрица В,такая что А*В=Е,то гов.что матрица В явл.обратной по отн.к мат.А: В=А^-1, А*А^-1=Е.

Св-ва: 1)Обр.и исх.матрицы перестановочны и матрица,обратная обратной, совпадает с исходной:

А*А^-1=А^-1*А=Е ; (А^-1) ^-1=А.

2)Единственность матрицы:если для д.матрицы обратная мат.сущ-т,то она только одна.

Как выяснить явл.ли д.матрица обратимой? Пусть исх.мат.А им.вид А=(а_ij). Искомая мат.А^-1=(х_ij),д.служ.реш-ем матр.ур.:

а₁₁ а₁₂ .. а_1n x₁₁ x₁₂ .. x_1n 1 0….0

а₂₁ а₂₂ .. а_2n * x₂₁ x₂₂ .. x_2n = 0 1.. .0

…………… ………….. …….

а_n1 а_n2 .. а_nn x_n1 x_n2 .. x_nn 0 0 1

Пользуясь правилами умнож-я матриц, найдем произвольн.эл-т (с индексами l, j) произвед-я матриц в левой части полученного выше равенства как скаляр. произв-е l-ой строки А и j-го столбца А^-1, после чего приравняем его соотв.эл-ту ед.матрицы: где _lj-cимвол Кронекера, равный 1 l=j

0 l≠j.

Т.о.,для опр-я n² неизвестных x_ij получили n² ур-ний.***

Кв.матрица явл.обратимой тока тогда,когда она явл.невырожденной.

Обращение матрицы методом Жордана.

Метод Жордана не треб.предварит.исслед-я системы ур-ний на совместность — ее иссл-е и реш-е проводятся одновр-но. Достоинством явл.и то,что все коэф-ты в соотв-х СЛАУ явл.одинак-ми. Выпишем мат.А и припишем к ней столбцы своб.членов всех n подсистем:

Как обычно,бум подвергать элем. преобраз-ям систему строк этой вспомогат.матрицы. Приписанные столбцы своб.членов подсистем ур-ний образуют единичн.матрицу того же порядка, что и данная мат.А. В сл.совместности системы ур-ний на нек-ром этапе преобраз-й на месте мат-цы А получится ед.матрица, и тогда кажд.столбец приписанной мат-цы будет предст.реш-ие соотв.подсистемы ур-й, т.е. на месте этой мат-цы появится обратная матрица. Схема обращения невырожденной матрицы А кратко м.б.записана в виде (А,Е)->(Е,А^-1).Если на нек-ром этапе процесса преобраз-й вспомогат.матрицы (1.2.39) в матрице А появ.строка нулей, то это будет свид.о вырожденности мат.А и, =>,о ее необратимости.

10 Обращенный базис слау. Приведение слау к предпочитаемому виду с помощью обращенного базиса.

Дана система т линейных алгебраических ур-ний с п неизвестными (т < п):

Исследуем ее, вычислив ранги матрицы СЛАУ и расширенной матрицы с пом.миноров. Предположим, что система оказалась совместной, все уравнения линейно зависимы, и пусть, для определенности, ненулевой минор М_т наивысшего порядка m (базисный минор) порождается подматрицей В, составленной из коэф-тов при первых т неизвестных. Матрицу В назовем базисной. Найдем для нее обр.матрицу B^-1:

a₁₁….а_1m u₁₁….u_1m

А= ……… , B^-1= ……… , M_m=|B|

a_m1….a_mm u_m1….u_mm

Матрицу В^-1 часто называют обращенным базисом. В матричной форме система алгебр.ур-й (1.2.43) зап-ся след.образом: Ах=b

где (слева проставлены в скобках размеры соотв-х матриц):

(т х п) А — матрица коэф-тов;

(n х 1) х — вектор-столбец неизвестных;

(mх1)b — вектор-столбец правых частей ур-й.

Разобьем вектор х на вектор базисных переменных х_B (первые т переменных) и вектор своб.переменных x_R (остальные п-т перем-х).Тогда матрица A соотв.образом разделится на подматрицы В (коэф-ты при баз.переменных) и R (коэф-ты при своб. переменных). При таком разделении матричное уравнение (1.2.45) примет вид

Bx_B+Rx_R=b. (1.2.46)

Поскольку баз.матрица В невырождена,то обр.матрица В^-1 сущ-ет. Умножим соотношение (1.2.46) слева на В^-1, тогда с учетом того, что B^-1B = Е, получим Откуда выразим баз.неизвестные через своб.неизвестные и правые части СЛАУ:

Матричн.соотношение (1.2.47) в развернутой алгебр.форме зап.так:

х₁+q_1,m+1*x_m+1+…+q_1n*х_n=h₁

х₂+q_2,m+1*x_m+1+…+q_2n*х_n=h₂

_. . . . . . . . . . . . . . .

х_m+q_m,m+1*x_m+1+…+q_mn*х_n=h_m

Мы пришли к предпочитаемому эквиваленту исходной СЛАУ. Базисными оказались те первые т неизвестных, из коэф-тов,при кот.был составлен ненулевой минор наивысшего порядка при иссл-и системы.Т.о., матрица G системы (1.2.48) и матрица А системы (1.2.1), а также матрицы-столбцы h и b их правых частей связаны соотношениями: G=B^-1A, h=B^-1b

11/12. Разл.формулировки задачи лин.прогр-я, ф-ия цели, допустимые и оптимальн.решения. Осн.задача ЛП, ее векторная и матричная формы записи. Задача ЛП в канонич.(осн.)виде. Сведение разл.формулировок задач к канонич.виду.Многие проблемы, возникающие в экон.иссл-ях, планировании и управлении, будучи сформулированными матем-ки, предст.собой задачи,в кот.необх-мо решить сист.линейных алгебр.ур-ний или нер-в и среди всех неотриц.реш-й найти то реш-е, при кот-м лин.однородная ф-ия принимает наиб.или наим.знач-е. Изучение методов иссл-я и реш-я матем.задач указанного типа составляет сод-е раздела математики,кот. наз.лин.прогр-ем.

Осн.задачу ЛП формулир.след.образом: даны система m лин.ур-ний с n неизвестными

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n = b₂ (1)

. . . . .

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n = b_m.

где неизвестные м.принимать только неотриц.знач-я x₁≥0,x₂≥0,...x_n≥0 (2), и лин.однородная ф-ия от тех же переменных L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (3). Требуется среди всех реш-й системы ур-ний (1) найти такое неотриц.реш-е,при кот-м лин.форма (3) принимает наим.возможное значение.

Любое неотриц.значение системы наз. допустимым, а допустимое реш-е, при кот.целевая ф-я (3) приним.наим.знач-е – оптимальным реш-ем задачи ЛП (1)-(3).

//Если в матем.модели к-л задачи планир-я будут сод-ся лин.нер-ва, то их м.заменить лин.ур-ниями с пом.доп.неотрицат. неизвестных.//Если в задаче надо найти наиб.возможное знач-е лин.формы при лин. огранич-ях,то для приведения такой задачи к канонич.виду дост-но лин.форму u заменить противоп-ной ей формой v=

-c₁x₁-c₂x₂-…-c_nx_n. //Нек-рые переем-е по своему физич.смыслу м.приним. и отрицат. значения,тогда для кажд.такой переменной x_j вводят 2 новые неотриц.перем-е x_j’ и x_j’’ так, чтобы x_j=x_j’-x_j’’, и заменяют x_j этой разностью в системе ограничений и целевой ф-ии, после чего задача приводится к виду осн.задачи ЛП. Осн.задачу ЛП формул-ют как задачу минимиз-и или макс-ии лин.формы L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n при ограничениях x₁≥0,x₂≥0,...x_n≥0 и

Осн.задачей ЛП наз.задача отыскания min лин.формы z=c_jx_j, при неотриц-ти вх-х в нее переменных и системы ограничений в виде СЛАУ

a_ijx_j ≤ b_i

x_j≥ 0; i=1,…m; j=1,…n.

Для приведения лин.задачи производств.планир-я к осн.задаче лин.прогр-я необх-мо:

С	базис	H	c1	c2	...	cm	cm+1	...	cj	cn
			x1	x2	...	xm	xm+1	...	xj	xn
c1	x1	h1	1	0	...	0	g1,m+1	...	g1j	g1n
c2	x2	h2	0	1	...	0	g2,m+1	...	g2j	g2n
...	...	...	…	...	...	...	...	...	...	...
cm	xm	hm	0	0	...	1	gm,m+1	...	gmj	gmn
		L-L0	0	0	...	0	∆m+1	...	∆j	∆n

1.Ф-я z заменяется на “-z”.

2.В левой части сис-мы ограничений СЛАН вводится по одной искусств. переменной в каждое из неравенств.

Найти план пр-ва x_j, j=1,…n обеспечивающий min линейной формы

-z=-c_jx_j → min. И ограничения

a_ijx_j +x^’_i=b_i

x_j ≥ 0; x^’_i≥0, i=1,…m; j=1,…n.

Исх.параметры задачи м.б.предст.в виде технологич.матрицы A затрат р-сов на ед-цу прод.кажд.вида, вектора B объемов р-сов и вектора C уд.прибыли:C=(c₁, …, c_n). Матричная форма записи:

14. Симплекс.метод ЛП: задача ЛП в предпочитаемой форме, выр-е ф-ии цели через своб.неизвестные, вычисление относит.оценочных коэф-тов ∆_j и знач-е целев.ф-ии соотв-х данному базисному допустимому реш-ю.Рассмотрим частный случай общей задачи, когда система ур-ний имеет предпочитаемый вид (коэф-ты при баз.переменных =1. Баз.переменные есть только в одном ур-нии), при этом правые части всех ур-ний неотрицательны.

Минимизировать L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (1), при условиях:

x₁+ g_1,m+1x_m+1 + ... + g_1nx_n = h₁,

x₂ + g_2,m+1 x_m+1 + ... + g_2nx_n = h₂, (2)

... ... ... ...

x_m + g_m,m+1 x_m+1 + ... + g_mnx_n = h_m

и x_j≥0, j = 1,2,...n (3).

Одним из допустимых решений задачи лин.прогр-я (1)-(3) будет баз.неотриц. реш-е системы (2): x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 (4), ему соответствует знач-е целевой ф-ии равное L₀=c₁h₁+c₂h₂+..c_mh_m+c_m+1*0+..+c_n*0=c_ih_i (5).

Надо исследовать, является ли реш-е (4) оптимальным (т.е.является ли знач-е (5) наим-м из всех возможных знач-й целевой ф-ии (1), отвечающих раз.неотриц.реш-ям системы (2)).

Учитывая, что система ур-ний (2) имеет предпочитаемый вид, находим для нее общ.реш-е: x_i=h_i-g_i,m+1x_m+1-...-g_inx_n, i=1,2,...,m (6). Если своб.неизвестным придавать к-н неотриц.знач-я, то будем получать разл. реш-я системы (2), среди кот.нас интересуют только неотриц. Подставляя их компоненты в лин.форму (1), м.подсчитать соотв.знач-я целев.ф-ии. Если переписать выр-е (1) в виде: - L=c₁x₁+c₂x₂+...c_mx_m+ c_m+1x_m+1+...+c_nx_n=0 (7). Чтобы исключить баз.неизвестные из (7) , достаточно умножить первое ур-ние системы (2) на c₁, второе- на c₂, … , m-e на c_m, сложить полученные произведения и из результата вычесть ур-ние (7). Получим L=∆_m+1x_m+1+..+∆_nx_n=L₀(8),где∆_j =c₁g_1j+c₂g_2j+ ..+c_mg_mj-c_j , j=1,2,..n (9) или ∆_j =z_j-c_j,z_j=c_ig_ij, j=1,2,..n (9a). Целесообразно ввести вектор C(c₁,c₂,...c_m), компонентами которого служат коэф-ты при неизвестных в лин. форме (1), они запис-ся в том порядке, в кот.расположены соотв.базисные неизв-е в системе ур-ний. Тогда, z_j м.предст.как скаляр.произв-е

∆_j = CG_j- c_j, j=1,2,...n. А L₀ = CH.

Для проведения указанных вычислений обычно составляют таблицу (ТАБЛИЦА 1)

Ее наз.первой симплекс.таблицей.

Из ур-я (8) получаем выр-е целевой ф-ии Lчер.своб.неизвестные:L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n. С помощью этого выражения исследуем базисное допустимое решение на оптимальность и выясним, как следует поступить, если оно окажется неоптимальным.