5.(Многомерные) векторы и действия над ними.N-мерное векторное пространство.

Сов-ть n чисел а₁,а₂,…,а_n, заданных в определенном порядке в виде столбца или строки,наз.n-мерным вектором.Числа a_i наз.компонентами или координатами вектора,число n-его размерностью.Обозначают так: а(а₁,а₂,…,а_n) А(а₁,а₂,…,а_n).

Действия над векторами.1.Векторы одной размерности м.сравнивать между собой.Так, а=b, если a_i=b_i,i=1,…n;a≥b,если a_i≥b_i,i=1,..n.

2.∑ векторов a и b наз.вектор а+b=(а₁+b₁,а₂+b₂,…,а_n+b_n),каждая компонента кот.=сумме соотв-х компонент слагаемых векторов. 3.Произведением вектора а на число λ наз.вектор λа=(λа₁,λа₂,…,λа_n),каждая компонента кот.равна произведению соотв.компоненты вектора а на это число. 4.Скалярным произведением двух векторов одной размерности a и b наз.число,равное сумме попарных произведений соотв.компонент векторов a и b. Скалярное произв-е:

(a,b)=а*b=ab=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=∑a_ib_i.

Вектор b наз.лин.комбинацией векторов a₁, a₂, …a_m,если сущ.числа µ₁, µ₂…µ_m, такие, что хотя бы одно из них ≠0 и b=µ₁a₁+µ₂a₂+…µ_ma_m.

Cистема векторов a₁, a₂, …a_m наз.линейно зав-мой, если хотя бы 1 из ее эл-тов м.б.предст.в виде лин.комбинации остальных.Иначе наз.лин.незав-мой…

Мн-во R эл-тов a,b,c,…наз.линейным пространством,если:1)им-ся правило,кот позволяет построить для кажд.двух эл-тов a и b из R третий эл-т из R,называемый суммой эл-в a и b (a+b); 2) им-ся правило,кот.позв.построить для кажд.эл-та a из R и любого действительного числа λ эл-т а^’ из R,наз-мый произведением эл-та а на число λ и обозначаемый λа; 3)сущ.нулевой эл-т,обозначаемый 0,обладающий св-вом а+0=а, для каждого эл-та а сущ эл-т –а и облад-й св-вом а+(-а)=0; 4)правила образования суммы эл-в и произв-я эл-в на число удовл-ют условиям a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c), λ(μa)=(μλ)a,1*a=a, 0*a=0*λ=0, (μ+λ)a=λa+ μa, λ(a+b)=λa+λb.Мн-во всех n-мерных векторов-упорядоченных систем действительных чисел-образует лин. пространство в смысле данного определения.Его часто наз.арифм-ким n-мерным пространством.

6.Матрицы, их классиф-я(виды). Сложение и умножение матриц на число.

Матрицей размера m*n наз.прямоуг.таблица,составленная из mn элементов чисел, сод-я m-строк и n-столбцов

a₁₁ а₁₂ … а_1n

А= a₂₁ а₂₂ … а_2n или кратко А=(a_ij)

…………..

a_m1 а_m2 …а_mn

Если т=п, то матрица наз.квадратной матрицей n-го порядка.Кв.матрица наз.треугольной,если все ее эл-ты,стоящие над или под гл.диагональю, =0. Кв.матрица наз.диагональной,если все ее эл-ты,стоящие на гл.диагонали, отличны от нуля, а остальные=0. Диаг.матрица наз.единичной, если а_ii=1, i=1,...,п.Транспонированной матрицей наз.матрица, строки кот.заменены столбцами(А=m*n->A’=n*m).Единичную матрицу принято обозн.буквой Е:Суммой двух матриц одного размера наз.матрица того же р-ра,кажд.эл-т которой =∑соотв.эл-тов матриц-слагаемых. Так, если А=||а_ij|| и В=||b_ij||- матрицы размера т*п, то их суммой явл.матрица С=А+В,такая,что c_ij=a_ij+b_ij. Произведением матрицы А размера т*п на число А, наз.матрица D того же размера, у кот.d_ij=a_ijλ..Для транспонир-х матриц справедливы след.соотношения: 1)(А')'=A;

2)(АВ)’ =В'А' ; 3)(А + В)'= А'+В'.

С кажд.матрицей A р-ра m*n м.св.две системы векторов:сист. m векторов-строк и сист. N векторов-столбцов.Ранги этих систем векторов =между собой.Их общ.ранг приним-ся за ранг матрицы и обозн-ся rang A или r(A).

7.Умножение матрицы на матрицу Произведением матрицы А р-ра m*n на матрицу В р-ра n*k наз.матрица С р-ра m*k,эл-ты кот с_ij =скаляр.произв-ю i-й строки матрицы А на_j-й столбец матрицы В, т.е.c_ij=a_i1b_1j+…a_inb_nj, i=1…k;j=1..n.

Произв-е матриц обозн.С=АВ. Скаляр. произв-е векторов а и b м.предст.как произв-е вектора-строки (матрицы-строки) а на вектор-столбец (матрицу-столбец) b': (a,b)=ab'.AB≠BA,если только речь не идет о кв.матрицах одного порядка(тогда они наз.перестановочными). Для операции произв-я матриц справедливы след.св-ва:1)A(BС)=(АВ)С; 2)(А+В)С=АС+ВС;3)A(B+С)=AB+AC; 4) λАВ)=(λА)В.

Это при условии, что операции выполнимы (напр.всв-ве1: A=m*n,B=n*k,C=k*p);ABC=m*p

8.Векторная и матричная форма записи СЛАУ. Система из k ур-ний первой степени с n неизвестными им.след.вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b_{1 , где b – cвоб.члены;}

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Составим матрицу А из коэф-тов при неизвестных системы лин.алгебр.ур-ний. Она наз.матрицей системы,а матрицу A , получающуюся добавлением к А столбца своб.членов системы, наз.расширенной матрицей:

а₁₁ а₁₂ a_1n а₁₁ а₁₂ a_1n b₁

А= а₂₁ а₂₂ а_2n A = а₂₁ а₂₂ а_2n b₂

_{…………………………… ……………………………}

а_k1 а_k2 а_kn а_k1 а_k2 а_kn b_k

Введем в рассмотрение векторы-столбцы(матрицы-столбцы): a_j-коэф-ты при неизвестной x_j (j=1…n), b –своб.члены, x-неизвестные:

а_1j b₁ x₁

а_j= а_2j b= b₂ x= x₂

_{………………………………………………….}

а_kj b_k x_k

Очевидно, левые части ур-ний исх.сист. совпадают с эл-тами матрицы-произв-я Ах, а j-е слагаемые во всех ур.системы предст. собой эл-ты вектора-столбца a_jx_j, получаемого умножением вектора a_j на число x_j. Поэт.исх.СЛАУ м.зап. в векторной и матричной формах:

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b или Ax=b.