3.Иссл-е и реш-е слау методом последов-го искл-я неизвестных Жордана Гаусса,нах-е разл.Предпочитаемых эквивалентов данной слау и базисных решений, общего решения.

Суть метода: за счёт элем.преобр-й за конечное число шагов система произ-ся к т.наз.предпочит-му или канонич.виду, кот.легко иссл-ся и решаются. Выбирается разр.ур-е, в кот.выбир.неизвестная,коэф-т при кот.отличен от нуля (разр-я неизвестная), а коэф-т при ней назыв.разр.коэф-т. Путём элем.преобр-й разр.неизвестная искл-ся из всех ур-й системы кроме разрешающей. Берётся след.ур. и след.разр.перем-я,отличная от первой, далее путём элем.преобр-й она искл-ся из всех ур-й системы,кроме разрешающей и т.д.

М.предпол-ть, не теряя общности, что в сист-ме

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b_{1 ,} где b – cвоб.члены;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m, где i=1,…,n.

коэф-т а₁₁отличен от 0.Примем этот коэф-т за разр-й и исключим методом искл-я неизв-юx₁ из всех ур.системы, кроме первого. Нужно 1-е ур-е *-а₂₁/а₁₁=

-а₂₁х₁- а₁₂*а₂₁/а₁₁*х₂ -…- а₂₁*а_1n/а₁₁*х_n=-b₁*а₂₁/а₁₁ + 2 ур-е системы

Система преобр-ся в эквив-ю. Число ур.в ней м.б.меньшим, чем в исходной, т.к. в процессе преобраз-я м.появ.ур.вида 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n=0, называемые нуль-ур-ми, кот.мы отбрасываем. Далее искл-ем из всех ур.новой системы, кроме второго, след.неизв-ю,напр. x_2,если коэф-т при ней в нов.сист.отличен от нуля,и т.д.,если не появ.ур.вида 0*х₁+0-х₂+…+0-х_n=b_, b0

Процесс последов.искл-я неизв-х закончится либо когда мы придем к сист., сод-й ур.вида 0*х₁+0-х₂+…+0-х_n=b_, b0, что будет означать несовместность иссл-й системы,либо когда система примет вид:

х₁ +g_1,m+1*x_m+1+…+g_1n*х_n=h₁

х₂+g_2,m+1*x_m+1+…+g_2n*х_n=h₂

_. . . . . . . . . . . . . . .

х_m+g_m,m+1*x_m+1+…+g_mn*х_n=h_m

Эта сист.будет эквив-на исходной, причем m≤k. Т.е. мы привели исх.сист.к предпочит.(канонич)виду.Неизв-е х₁,х₂,…х_m бум называть базисными (Те неиз-ые,кот входят в одно конкретное ур-е системы и не входят в ост-ые назыв базисными неизвестными, все остал-е неиз-ые назыв свободными.), а х_m+1, x_m+2,…x_n –свободными. Отметим особ-ть получ.сист-мы: в кажд.ее ур.сод-ся неизв.с коэф-том,равным 1,кот.ни в какое др.ур.сист.не входит,т.е.коэф-ты при баз.неизв-х образуют единичн.подматрицу матрицы системы.Кратко это зап.в виде: i=1,…,m.

Выр-е базисных через свободные неиз-ые назыв общим решением слау:

х₁=h₁ -g_1,m+1x_m+1-…-g_mx_n

х₂=h₂ - g_2,m+1x_m+1-…-g_2nx_n

……………………………….

x_m=h_m - g_m,m+1x_m+1-…-g_mnx_n

Придавая свободным неизв к-л знач.,будем получать опр.знач.баз.неизв-х. Такие реш-я слау наз.частными небаз.реш-ми. В том сл., если все своб.перем-е=0,то полученное знач-е баз.перем-х в совм-ти с нулевыми свободными наз.баз.решением слау: х₁=h_1, x₂=h_2, x_m=h_{m ,} x_m+1=0 x_m+2=0,х_n=0

4.Преобр-е СЛАУ с сохр-ем неотриц-ти правых частей ур-ний (симплекс.преобр-я). Если правые части всех ур-ний полученных систем окаж неотриц-ми,то соотв баз.реш-я также будут неотриц-ми.=>чтобы получить неотриц.баз.реш-я СЛАУ,надо вести процесс искл-я неиз-х так, чтобы своб.члены всех ур-й на всех этапах этого процесса оставались неотриц-ми.Для этого сущ.след правила: 1)если в СЛАУ им.отриц.своб.члены,то все такие ур-я необх *(-1); 2)в кач-ве разр.приним.ту перем-ю,коэф-т при кот.хотя бы в одном ур-нии системы положителен; 3)для нах-я разр.ур-ния находят тип отношений столбца своб.членов к положительным эл-там разр-го столбца,в этом сл.k-ое ур-е будет разр-щим min(b_i/a_ij>o)=b_k/a_ij

Если хотя бы в одном из ур-й системы свободный член положителен,а все коэф-ты при неизв-х<0,то система неотриц.реш-й не имеет.Преобраз-я системы в соотв.с этими правилами наз.симплекс-преобр-ми системы. Если указанный min достигается для неск-х ур-й системы,то такая система наз.вырожденной. Необх-м условием вырожденной системы явл то,что своб.член хотя бы одного ур-я системы=0.

В кач-ве разреш.неизв-й м.принять любую,при кот.есть хотя бы 1 положит.коэф-т,а затем в кач-ве разр.ур.взять то ур.,кот.соотв-ет наим.отношению своб.членов ур-й к соотв.положит.коэф-там при выбранной неизв-й в этих ур.

Система не будет им.ни одного неотриц.реш.,если в процессе симплекс.преобраз-й в ней появ.ур-ние,в кот.своб.член строго положителен, а среди коэф-тов при неизв-х нет ни одного положит-го.

Будем теперь искать небаз.неотриц.реш-я системы ур-ний,по-прежнему считая правные части ур-ний во всех сист.неотр-ми. В общем реш-и:

х₁=h₁ -g_1,m+1x_m+1-…-g_mx_n

х₂=h₂ - g_2,m+1x_m+1-…-g_2nx_n

……………………………….

x_m=h_m - g_m,m+1x_m+1-…-g_mnx_n

будем придавать разл.неотр.знач-я только одной своб.неизв-й,напр.x_s, сохраняя знач-я остальных своб.неизв-х равными нулю,так, чтобы баз.неизв-е принимали неотр.знач-я. Если g_1s<0, g_2s<0…g_ms<0, то неизв-й х_s м.дать любое неотр.знач. 0≤x_s<+, если же при неиз-й х_s хотя бы в одном ур.системы

х₁ +g_1,m+1*x_m+1+…+g_1n*х_n=h₁

х₂+g_2,m+1*x_m+1+…+g_2n*х_n=h₂

_. . . . . . . . . . . . . . .

х_m+g_m,m+1*x_m+1+…+g_mn*х_n=h_m

им-ся положит.коэф-т, то x_s м.изм-ся лишь в огранич.области

При любом x_s из этой области частное реш-е будет неотриц-м.