4. Квантили

Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей.

Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Квартили

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равные по количеству элементов части. Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой. Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.

К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

1 квартиль

2 квартиль

медиана

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифм. среднее 2-го и 3-го элеметов, а за нижнюю арифм. среднее 7-го и 8-го элементов.

медиана

1 квартиль 3 квартиль

Расчет квартилей для дискретного ряда:

Пример . Расчет медианы и квартилей.

Фирма по продаже сувениров желает узнать рабочую выработку. В данном списке представлено количество сувениров, сделанных каждым рабочим за какой-то день:

92, 100, 89, 98, 101, 84, 113, 93, 81, 14, 113, 86, 98, 99, 105, 88, 101, 89, 93, 102, 101, 99, 87, 109, 92, 99, 111, 98, 102, 95

В вариационном ряду 30 значений: 14, 81 84, 86, 87, 88, 89, 89, 92, 92, 93, 93, 95, 98, 98, ↓, 98, 99, 99, 99, 100, 101, 101, 101, 102, 102, 105, 109, 111, 113, 113.

Найдём верхнюю и нижнюю квартили. Медиана делит вариационный ряд на 15 значений (условное значение обозначено стрелкой). Верняя квартиль – 8-е значение, нижняя - 23-е значение. Q₁= 89, Q₂= 101 (шт)

Расчет квартилей для дискретного ряда:

1. В дискретном ряду сначала определяют номера (позиции) квартилей:

позиция 1-го квартиля

позиция 3-го квартиля

2. Если номер квартиля – целое число, то значение квартиля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру квартиля. Например, если квартиль находится в 20-й позиции, его значение будет равно значению 20-го наблюдения.

Если номер квартиля – нецелое число, то квартиль попадает между двумя наблюдениями. Значением квартиля будет сумма значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера квартиля, и указанной части (нецелая часть номера квартиля) разности между этим наблюдением и следующим. Например, если позиция квартиля равна 20,25, квартиль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

Расчет квартилей для интервального ряда:

Для расчета квартилей для интервального ряда

1. Определяем номер квартиля,

2. Определяем квартильный интервал,

3. Рассчитываем квартиль по формуле:

Где:

- нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль. Интервал определяется по сумме накопленных частот, не превышающей 25 % от суммы всех частот, - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль. Интервал определяется по сумме накопленных частот, превышающей 75 % от суммы всех частот. - ширина интервала - накопленные частоты интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль - накопленные частоты интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль - частота интервала, содержащего нижний квартиль - частота интервала, содержащего верхний квартиль

Децили

Децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль отсекает 1/10 часть совокупности, а девятый дециль отсекает 9/10 частей. Таким образом, различают 9 децилей.

Рассчитываются децили по аналогичным формулам:

1. Определяем номер дециля по формуле:

2. Если номер дециля – целое число, то значение дециля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру дециля. Например, если дециль находится в 20-й позиции, его значение будет равно значению 20-го наблюдения. Если номер дециля – нецелое число, то дециль попадает между двумя наблюдениями. Значением дециля будет сумма значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера дециля, и указанной части (нецелая часть номера дециля) разности между этим наблюдением и следующим. Например, если позиция дециля равна 20,25, дециль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

3. Для интервального ряда:

– значение j-го дециля, - нижняя граница децильного интервала; - ширина децильного интервала; – сумма всех частот, -накопленная частота интервала, предшествующего децильному; - частота децильного интервала.