Задача Д1
.docЗАДАЧА Д 1
Интегрирование дифференциальных уравнений движения
материальной точки
Груз массой , получив в точке начальную скорость , движется в изогнутой трубе , расположенной в плоскости рисунка; участки трубы или оба наклонные, или один наклонный, а другой горизонтальный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).
На участке на груз, кроме силы тяжести, действует постоянная сила (ее направление показано на рисунке) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке пренебречь.
В точке груз, не изменяя скорости, переходит на участок трубы, где на него, кроме силы тяжести, действует сила трения (коэффициент трения груза о трубу ) и переменная сила , проекция которой на ось задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние или время движения груза от точки до точки , найти закон движения груза на участке , т.е. , где .
Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке , учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке или длину этого участка, определить скорость груза в точке . После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке , и, полагая в этот момент . При интегрировании уравнения движения на участке в случае, когда задана длина участка , целесообразно перейти к переменной , учтя, что
Таблица Д 1
№ усл |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
16 |
5 |
0.6 |
- |
5 |
|
1 |
2 |
18 |
9 |
0.5 |
4 |
- |
|
2 |
6 |
28 |
14 |
0.3 |
- |
10 |
|
3 |
1.8 |
12 |
6 |
0.9 |
2 |
- |
|
4 |
4.5 |
20 |
19 |
0.5 |
- |
3 |
|
5 |
1.6 |
10 |
8 |
0.2 |
2 |
- |
|
6 |
4,8 |
15 |
19 |
0,4 |
- |
4 |
|
7 |
8 |
12 |
21 |
0,8 |
2,5 |
- |
|
8 |
4 |
22 |
7 |
0,8 |
- |
5 |
|
9 |
5 |
24 |
15 |
0,25 |
5 |
- |
Пример Д 1. На участке трубы (рис. Д1) на груз массой действуют сила тяжести, постоянная сила и сила сопротивления ; расстояние от точки , где , до точки равно . На участке на груз действуют сила трения груза о трубу (коэффициент трения задан) и переменная сила .
Дано:
Определить: - закон движения груза на участке .
Решение. Рассмотрим движение груза на участке,считая груз материальной точкой. На него действуют силы: сила тяжести сила сопротивления движению и постоянная сила . Проведем ось в сторону движения груза и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
Подставим значения и уравнение принимет вид:
Так как сила сопротивления пропорциональна , производим замену переменной:
Разделив обе части на и учитывая, что , получим:
или
Введем обозначения:
Тогда уравнения (3) можно записать в виде:
Разделим переменные:
и проинтегрируем уравнения:
Примечание. Если сила сопротивления зависит от , то замена переменной не производится и уравнение будет иметь вид:
Введем обозначения:
и ,
получим
Тогда разделим переменные:
и проинтегрируем уравнение:
________________________________________________________________
По начальным условиям при . Это означает:
и из равенства находим:
,
отсюда
Потенцируем:
Отсюда находим:
Полагая в равенстве , число и заменяя и их значениями, находим скорость груза в точке :
Рассмотрим движение груза на участке. Будем отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке , считая в этот момент Тогда найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью (). На груз действуют силы: сила тяжести ; нормальная реакция трубы ; сила трения и переменная сила . Проведем из точки оси и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось :
где . Для определения составим дифференциальное уравнение в проекции на ось . Так как , получим :
.
Следовательно
.
Уравнение примет вид:
Разделим обе части уравнения на :
или
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:
Найдем значение из начальных условий: при
При найденном значении уравнение примет вид:
Снова разделим переменные и проинтегрируем уравнение:
Постоянную интегрирования находим из начальных условий: при
Окончательно искомый закон движения груза примет вид:
,
где - в метрах, - в секундах.