- •1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
- •2. Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
- •3. Классическое определение вероятности. Комбинаторика.
- •4. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •5. Теоремы о вероятности суммы событий.
- •6. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.
- •7. Формула полной вероятности.
- •10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.
- •11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.
- •8. Формула Байеса.
- •9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.
- •13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
- •14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
- •15. Геометрический закон распределения.
- •16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
- •17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.
- •18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).
- •19. Начальные и центральные моменты.
- •20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока. Свойство марковости показательного закона.
- •24. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •25. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
- •26. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева ( без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).
- •27. Центральная предельная теорема ( без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •28. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.
- •29. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.
- •30. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.
- •31. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.
- •32. Статистический и интервальный ряды распределения.
- •33. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.
- •34. Распределения χ2, t, f.
- •35. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •36. Точечная оценка математического ожидания и ее свойства.
- •37. Точечная оценка дисперсии, несмещенная оценка дисперсии.
- •38. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •39. Интервальные оценки параметров распределения.
32. Статистический и интервальный ряды распределения.
Расположив элементы выборки в порядке не убывания, получим вариационный ряд х1,х2,…,хn. Если в вариационном ряду есть повторяющиеся элементы, то выборку можно записать в виде статистического ряда распределения, т.е. в виде таблицы:
Х |
Х’1
|
X’2 |
... |
X’k |
р |
p^1 |
p^2 |
... |
p^k |
Для непрерывных случайных величин при достаточно больших объемах выборки n вместо статистического ряда распределения используют интервальный вариационный ряд,
X |
[a1;a2) |
[a2;a3) |
... |
[av;av+1) |
p |
p^1 |
p^2 |
... |
p^v |
Где v – число интервалов одинаковой ширины h=хn-x1/1+3,322lg n (x1 и хn – соответственно минимальный и максимальный элементы выборки; значение h рассчитывается с числом знаков после запятой, на единицу большим, чем в исходных данных).
33. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.
Выборочным аналогом плотности распределения fx(x) случайной величины Х служит выборочная плотность распределения f^x(x) = p^i/h при х €[ai; ai+1) (i = 1,2,...,v).
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1,n1), (x2,n2),...,(xk,nk), где xi – варианты выборки и ni – соответствующие им частоты.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношения ni/h (плотность частоты)
34. Распределения χ2, t, f.
35. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
Статистической оценкой Θ* неизвестного параметра Θ теоретического распределения называют функцию f(Х1,Х2...,Хn) от наблюдаемых случайных величин Х1,Х2,…,Хn .
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Θ* = f(x1,x2,...,xn), где х1,х2,…,хn – результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).
Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при лбом объеме выборки.
Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя
Хв = (∑nixi)/n
Где xi – вариант выборки, ni – частота варианты xi, n = ∑ni – объем выборки.
36. Точечная оценка математического ожидания и ее свойства.
Несмещенная оценка математического ожидания М(Х)
Х = ∑Хi/n
37. Точечная оценка дисперсии, несмещенная оценка дисперсии.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия
Dв = (∑ni(xi-xв)2)/n;
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
S2X = (∑nixi2 – [∑niui]2/n)/n-1
38. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
Методом моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка.
Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки известных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.