- •1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
- •2. Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
- •3. Классическое определение вероятности. Комбинаторика.
- •4. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •5. Теоремы о вероятности суммы событий.
- •6. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.
- •7. Формула полной вероятности.
- •10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.
- •11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.
- •8. Формула Байеса.
- •9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.
- •13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
- •14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
- •15. Геометрический закон распределения.
- •16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
- •17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.
- •18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).
- •19. Начальные и центральные моменты.
- •20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока. Свойство марковости показательного закона.
- •24. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •25. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
- •26. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева ( без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).
- •27. Центральная предельная теорема ( без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •28. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.
- •29. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.
- •30. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.
- •31. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.
- •32. Статистический и интервальный ряды распределения.
- •33. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.
- •34. Распределения χ2, t, f.
- •35. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •36. Точечная оценка математического ожидания и ее свойства.
- •37. Точечная оценка дисперсии, несмещенная оценка дисперсии.
- •38. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •39. Интервальные оценки параметров распределения.
1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
Случайное событие – любой исход, который может произойти, либо не произойти в результате проводимых испытаний.
Два события несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Следовательно, совместны те события, которые не исключают наступление одного при наступлении другого, т.е. они могут наступить вместе.
Теория вероятностей изучает свойства случайных массовых событий, которые могут многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Основные понятия теории вероятностей были заложены в 15-17 вв. паскалем и др. Эти понятия зародились в результате попыток математически описать азартные игры.
2. Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
Лекции стр. 8
3. Классическое определение вероятности. Комбинаторика.
Р(А) = n(A)/n(Ω) – классическое определение вероятности.
n(A) – количество исследуемых испытаний;
n(Ω) – количество произведенных испытаний.
Задачи, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких зада, - комбинаторикой.
4. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Аксиоматическое вероятность задается числовой функцией в соответствии с 3 аксиомами:
Определение: Вероятностью называется числовая функция, определенная, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами:
Аксиома 1. Для любого события А€S P(A)>=0.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице P(Ω) = 1/
Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: А€S, В€S, А∩ В=○, P(AB)=P(A)+P(B)
5. Теоремы о вероятности суммы событий.
Если события А и В не совместны, то
А+В=Р(А)+Р(В)
Если события А и В совместны, то
А+В = АВ + АВ +АВ
Для совместных и несовместных событий
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
6. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.
Р(А/В) – вероятность А при условии В (достоверное событие) – называют условной вероятностью.
Событие А называют независимым, от события В, если появление (или не появление) события В не изменяет вероятности появления события А.
Событие А называется зависимым от события В, если появление (или не появление) события В изменяет вероятность появления события А.
Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А/В) * Р(В) = Р(В/А) * Р(А)
Теорема умножения независимых событий: Р(АВ) = Р(А) *Р(В)
7. Формула полной вероятности.
Если события Н1, Н2,….,Нn образуют полную группу, то для вычисления вероятности произвольного события А применяется формула полной вероятности
Р(А) = ∑ Р(Н) * Р(А/Нi)
В соответствии с которой вероятность наступления события А может быть представлена как сумма произведений условных вероятностей события А при условии наступления событий Нi на безусловные вероятности этих событий Нi. Поскольку среди событий Н1, Н2,…,Нn, образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно событие, эти события Нi называют гипотезами.