Справочный материал
Раздел I. Линейная алгебра
1.1 Матрицы Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов называется числовой матрицей порядка (размера) mxn:
A =
(1)
Сокращенно: А= (
),
–
элементы матрицы,i
– номер строки, j
– номер столбца,
i = 1,2,…,m (i=
),
j = 1,2,…,n (j=
).
Виды матриц :
Если m=n , то матрицу называют квадратной ;
Если m=1 – матрицей-строкой ;
Если n=1 – матрицей-столбцом.
В частности,
A
=
-
квадратная матрица 2-ого порядка.(2)
A
=
-
квадратная матрица 3-его порядка,(3)
Числа a11, a22, a33 образуют главную диагональ ( i=j )
Ряд определений в дальнейшем будет дан для матрицы (3).
–матрица-строка порядка
1х3,
–матрица-столбец порядка
3х1 .
Квадратная матрица, имеющая ненулевые элементы только на главной диагонали, называется диагональной:
diag A =
Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, называется единичной:
E
=
Сокращенно : E= (δij)
δij
=
- символ
Кронекера.
Прямоугольная (в общем случае) матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой:
0
=
Замена каждой строки матрицы A её соответствующим столбцом называется транспонированием. Транспонированная по отношению к матрице A матрица обозначается
:
=
,
очевидно,
=A
Пример 1 Классифицировать следующие матрицы:
A
=
,B
=
,D
=
,
С =
,G
=
,F
=
,
N
=
,Q
=
,K
=
.
Решение: A, B, D, C – квадратные матрицы,
A, B, D – 3-его порядка, C – 2-ого.
G, F – прямоугольные, соответственно 2х3 (содержащая две строки и три столбца)
и 3х2 (три строки и два
столбца) – порядка, N
– матрица-строка
1х3 порядка, Q
– матрица-столбец
3х1 – порядка, K
– матрица-скаляр
(число), D
– диагональная,
=B
,
=F
,
=Q
.
1.2 Действия над матрицами
Матрицы А и В одной размерности считаются равными, если равны их соответствующие элементы: А=В
Сложение(вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:
С = А + В , если
Умножение матрицы на число λ – каждый элемент матрицы умножается на это число:
B = λ
× A
,
если
2) и 3) - линейные операции над матрицами.
Замечание 1: Сложение (вычитание) и умножение матрицы на число – линейные операции над матрицами.
Пример 2 Найти сумму матриц A + B из Примера 1
Решение: А + В =
=
Замечание 2: Матрица А + В симметричная, справедливо равенство:
А
+ В =
.
У симметричной матрицы элементы,
симметричные главной диагонали равны.
Пример 3
Найти линейную комбинацию матриц 2А +
- 4Е ,
если
А =
, В =
, Е =
Решение:
2 ∙ А =
,
=
, 4Е =
.
2А +
- 4Е =
+
-
=
Умножение матриц.
Произведение А
∙ В определяется
не для произвольных матриц А
и В. Оно
имеет смысл только в том случае,
когда число столбцов матрицы А
ровно числу строк
В. При
этом А ∙ В есть
матрица С ,
каждый элемент
которой
равен сумме последовательных произведений
элементов i-
той строки матрицы А
на соответствующие
элементы j-
того столбца
матрицы В.
∙
=
=
∙
+
∙
+ … +
∙
=
∙
, i
=
, j=
.
Найти произведения матриц:
Пример 4
∙
=
=
Пример 5
∙
=
=
Пример 6
А ∙ В
=
∙
=
= 4 ∙ (-2) + 1 ∙ 3 + 5 ∙ 0 = -5
= 4 ∙ 6 + 1 ∙ 7 + 5 ∙ (-1) = 26
= 3 ∙ (-2) + 0 ∙ 3 + 2 ∙ 0 = -6
= 3 ∙ 6 + 0 ∙ 7 + 2 ∙ (-1) = 16
А ∙ В =
На рисунке
1 схематично
показано получение элемента
в произведении матриц :
Рисунок 1
Рисунок 2
получение элемента
:
Рисунок 2
Пример 7
B
∙ A
=
=
= -2 ∙ 4 + 6 ∙ 3 = 10 ; 
= -2 ∙ 1 + 6 ∙ 0 = -2 ;
= -2 ∙ 5 + 6 ∙ 2 = 2 ;
= 3 ∙ 4 + 7 ∙ 3 = 33 ; 
= 3 ∙ 1 + 7 ∙ 0 = 3 ;
= 3 ∙ 5 + 7 ∙ 2 = 29 ;
= 0 ∙ 4 + (-1) ∙ 3 = -3 ; 
= 0 ∙ 1 + (-1) ∙ 0 = 0 ;
= 0 ∙ 5 + (-1) ∙ 2 = -2.
Замечание 3: В общем случае АВ ≠ ВА (примеры 6-7).
Матрицы, для которых выполняется равенство АВ = ВА называются коммутативными.
Пример 8
А ∙ В =
∙
=
А ∙ В = 0 (Хотя А ≠ 0, В ≠ 0)
Замечание 4: В теории матриц нулевая матрица 0 и единичная Е играют роль чисел соответственно 0 и 1 в арифметике, т.е.
ЕА = АЕ = А , А ∙ 0 = 0 ∙ А = 0, А + 0 = 0 + А.