5. Інтеграли, які містять квадратний трьохчлен

Розглянемо детально обчислення інтегралів, які містять у складі підінтегральної функції квадратний трьохчлен .

Вид 1. . (5.1)

Спочатку виділимо в чисельнику повний квадрат:

.

Зробимо заміну:

.

Інтеграл має вигляд табличного інтегралу. Він може обчислюватися за формулою 12 ТОНІ (у випадку ), чи за формулою 18 (коли ).

Приклад 41. .

Приклад 42. .

Вид 2. . (5.2)

У цьому випадку в першу чергу у чисельнику треба виділити похідну знаменника:

.

Для цього зручно в чисельнику спочатку винести коефіцієнт за знак інтеграла, щоб коефіцієнт при дорівнював 1, а потім зробити еквівалентні перетворення в чисельнику так, щоб отримати там у вигляді доданку . У загальному виді це виглядає наступним чином:

Позначимо:

.

Інтеграл — це інтеграл виду 1, який детально розглянутий вище.

Приклад 43. .

Інтеграл виду 2. Похідна знаменника . Виділимо цю похідну у чисельнику:

Тоді

+

Вид 3. . (5.3)

Наші дії, які ми проводимо для обчислення інтегралу (5.3), аналогічні тим, які проводилися для інтегралу виду 1, приводять до табличного інтегралу 16 з ТОНІ, коли , і до табличного інтегралу 14, коли .

Приклад 44. .

Приклад 45. .

Вид 4. . (5.4)

Метод обчислення аналогічний тому, який був застосований для інтегралу виду 2.

Приклад 46. .

Враховуючи обчислені , отримуємо:

=

Вид 5. Інтеграли виду 4 є частковим випадком інтегралів виду

, (5.5)

—многочлен степені .

Для обчислення такого інтегралу взагалі полагають:

, (5.6)

де

(5.7)

— многочлен степені з невизначеними коефіцієнтами , — невідома стала.

Для знаходження коефіцієнтів многочлена (5.7) і сталої продиференціюємо рівність (5.6). Оскільки невизначений інтеграл — це сукупність первісних для підінтегральної функції, а за визначенням первісної похідна від неї співпадає з самою функцією, то для лівої частини (5.6)

.

Для правої частини:

Таким чином, після диференціювання (5.6) отримаємо рівність:

Оскільки рівними є дроби з однаковими знаменнниками, то чисельники, які є многочленами, теж співпадають:

. (5.8)

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах (5.8), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів і . Розв’язавши отриману систему і підставивши потрібні коефіцієнти в (5.6), обчислення шуканого інтеграла зведемо до обчислення інтегралу виду 3 в правій частині (5.6): .

Приклад 47. .

Поданий інтеграл має вид 5, де — многочлен степені 2. За формулою (5.6), в якій , маємо:

. (5.9)

Отримали рівність з трьома невідомими коефіцієнтами: . Знайдемо похідні від лівої і правої частин (5.9) і прирівняємо їх:

Приведемо до спільного знаменника:

Прирівняємо многочлени у чисельниках:

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

Після розв’язання отриманої системи:

.

Формула (5.9) буде мати вигляд:

.

Залишилося обчислити інтеграл виду 3 в правій частині:

Тоді шуканий інтеграл буде дорівнювати:

Приклад 48. .

Для того, щоб зробити шуканий інтеграл інтегралом виду 5, помножимо і розділимо підінтегральний вираз на :

Продиференціюємо отриманий вираз:

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях у многочленах, які знаходяться в чисельниках останньої рівності:

Після розв’язання отриманої системи:

.

Тоді

Вид 6. . (5.10)

Для обчислення такого типу інтегралів доцільна заміна змінної:

,

яка приведе шуканий інтеграл до виду 3 чи 4.

Приклад 49. .

Вид 7. . (5.11)

Такі інтеграли приводяться до інтегралів виду 5 за допомогою заміни змінної:

.

Приклад 50. .

Шуканий інтеграл має вид 7.

Отриманий інтеграл — це інтеграл виду 5.

.

Продиференціюємо останню рівність:

.

Після приведення до спільного знаменника отримуємо рівні чисельники:

.

Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях у многочленах:

Після розв’язання отриманої системи:

.

Тоді

.

Нарешті

Вид 8. . (5.12)

Спочатку розглянемо часткові випадки інтегралу вида 8.

Вид 8.1. . (5.13)

Отримали лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла:

,

з якого:

. (5.14)

Вид 8.2. . (5.15)

Отримали лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла:

,

з якого

,

. (5.16)

За допомогою виділення з квадратного трьохчлена повного квадрата інтеграл виду 8 зведеться до одного з двох основних інтегралів (5.14), (5.16).

Приклад 51. .

Розглянемо декілька прикладів, які приводяться до інтегралів виду 1—8.

Приклад 52. .

На першій погляд, цей інтеграл має вигляд, який не співпадає з видом 1—8, але, якщо звернути увагу на чисельник підінтегральної функції, який є многочленом першої степені, то стає наочним, що цей чисельник, з точністю до постійного множника, є похідною від , а тому доцільною є заміна змінної: .

Приклад 53. .

Приведемо шуканий інтеграл до одного з розглянутих видів 1—8 за допомогою заміни змінної:

Приклад 54. .

Цей інтеграл в поданому вигляді не має вид 1—8, але помітно, що в підкореневому виразі знаменника буде квадратний трьохчлен відносно , що наштовхує на доцільність заміни змінної: . Ця заміна є корисною ще й тому, що підінтегральний вираз містить множник , який є похідною нової змінної: . Отже

Приклад 55. .

Цей інтеграл за методом його обчислення і доцільністю пропонуємої заміни аналогічний попередньому прикладу: в знаменнику знаходиться квадратний трьохчлен відносно , і підінтегральний вираз містить множник , який є похідною від . Отже

Тоді

.