Міністерство освіти і науки україни одеський національний політехнічний університет методичні вказівки

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

Невизначений інтеграл і методи його обчислення

Одеса ОНПУ 2009

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Затверджено

на засіданні кафедри ІММЗІС

протокол № 3 від 20 жовтня 2009 р.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»

для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ І МЕТОДИ ЙОГО ОБЧИСЛЕННЯ

Одеса ОНПУ 2009

Методичні вказівки до практичних занять за курсом «Математичний аналіз» для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика. Невизначений інтеграл і методи його обчислення / Укл. А.А. Кобозєва. — Одеса: ОНПУ, 2009. — 85 с.

Укладач: А.А. Кобозєва,

д.т.н.,доцент

1. Первісна і невизначений інтеграл

У багатьох питаннях науки й техніки виникає необхідність відновлювати функцію по її відомій похідній.

Будемо говорити, що функція в інтервалі називається первісною функцією для функції , якщо

. (1.1)

Нехай — первісна для , тоді будь-яка , де , також буде первісною для . Дійсно,

.

Таким чином, якщо функція має первісну, то вона має безліч первісних, до того ж всі ці первісні відрізняються лише на сталу.

Основна теорема інтегрального числення. Нехай функція визначена і неперервна на . Тоді має первісну на цьому інтервалі.

Скрізь далі довільну сталу будемо позначати .

Множина усіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом для і позначається :

,

де — одна з первісних функції , .

2. Властивості невизначеного інтеграла

Нехай функції , , визначені на , а , , — їх відповідні первісні на . Через будемо позначати диференціали відповідних функцій. Тоді

1. ;

2. ;

3. , де ;

4. .

Таблиця основних невизначених інтегралів (тоні)

1. ; 2. ;

3. , де ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9.; 10.;

11. ; 12., ;

13. ; 14., ;

15. ;

15. , — довгий логарифм;

15. ;

15. —високий логарифм.

При обчисленні невизначеного інтеграла легко перевіряється правильність отриманого результата за допомогою формули (1.1): похідна від знайденої первісної повинна співпадати з поданою функцією .

Перевіремо, наприклад, правильність формули 18 в ТОНІ. Для цього знайдемо похідну від правої частини і порівняємо її з підінтегральною функцією :

.

При користуванні ТОНІ треба бути уважними при використанні формул 12, 14, 16, 18, де присутній параметр . Наприклад, інтеграл має вигляд 12 в ТОНІ, а стала 3 розглядається як , тому , а

.