ОНПУ

кафедра высшей математики и моделирования систем Реферат №2.Комплексные числа.

Выполнил: студент

группы ОВ-122

Гридасов Максим Михайлович Проверил: доцент

КВММС Жарова.О.В.

Оценка: Одесса 2012

Содержание:

§ 1.Понятие и представления комплексных чисел

П.1.1.Основные понятия (стр.3)

П.1.2.Геометрическое изображение комплексных чисел (стр.4)

П.1.3.Формы записи комплексных чисел (стр. 5-6)

§ 2.Действия над комплексными числами

П.2.1.Сложение комплексных чисел (стр.7)

П.2.2.Вычитание комплексных чисел (стр.8)

П.2.3.Умножение комплексных чисел (стр.9-10)

П.2.4.Деление комплексных чисел (стр.11)

П.2.5.Извлечение корней из комплексных чисел (стр.12) Примеры (стр.13-26) Список литературы (стр.27)

§ 1.Понятие и представления комплексных чисел

П.1.1.Основные понятия

Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, i2=-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. e. RÌС.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой частью z, у = Im z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=х2+iy2 называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х1=х2, y1=у2. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

П.1.2.Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.

Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).

П.1.3.Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде z=х+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент φ комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора r=ОМ, изображающего комплексное числоz=х+iy (см. рис. 162). Тогда получаем х=rcosφ, у=rsinφ. Следовательно, комплексное число z=х+iy можно записать в виде z=rcosφ+irsinφ или  z=r(cosφ+isinφ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Например, |i|=Ö(0²+1²)=1. Аргумент φ определяется из формул

Так как

φ=Argz=argz+2kπ,

то

cosφ=cos(argz+2kπ)=cos(argz),    sinφ=sin(argz).

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.

Так как -π<argz≤ π, то из формулы tgφ=у/х  получаем,что

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argz₁=0 для z₁=2; argz₂=π

для z₂=-3; arg z₃=p/2 для z₃=i и arg z₄=-p/2 для z₄=-8i.

Используя формулу Эйлера

е^iφ=cosφ+isinφ, комплексное число z=r(cosφ+isiπφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rе^iφ, где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2kp (k=0,-1,1,-2,2...).

В силу формулы Эйлера, функция е^iφ периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать φ=argz.