Мнемоничность и усвояемость намного возрастают, если все возможное давать только на 1-м уровне, и лишь после его усвоения переходить ко 2-му.

Ввести понятие производной для линейной функции – по сути то же, что повторить аналитическую геометрию прямой. Но повторить не все подряд, а только непосредственно нужную деталь – угловой коэффициент.

Ипод новым углом зрения – по диалектической спирали.

Ив нужный момент.

Такое повторение – мать, а не мачеха.

А заодно повторить и сведения о тригонометрии, опять- таки только самые необходимые, а именно – что такое тангенс. И тоже не формально, а по существу (см. выше).

При таком повторении главное свойство линейной функции – постоянство значения производной во всем диапазоне изменений аргумента. И оно теперь известно изначально, еще до вывода правил дифференцирования, с того самого момента, как введено понятие производной.

И тогда оказывается, что и тангенс, и угловой коэффициент, и производная – все это одно и то же. Просто для них придуманы другие названия, и остается объяснить, для чего это сделано. А именно: тангенс есть принадлежность угла, а угловой коэффициент – принадлежность прямой.

Но того и другого недостаточно для функций, у которых по ходу графика меняется крутизна, и приходится ввести новое понятие – производную.

Такое повторение и есть приручение термина. Пока мы остаемся среди линейных функций, он нам не нужен. Но мы вводим его уже сейчас, предупредив, что он понадобится в дальнейшем. Его нужно прочно связать с предыдущим, а для этого освежить и известное, но давно забытое.

(1) Подробное изложение техники после каждого элемента разрывает связь между идейным содержанием разных элементов (за деревьями не видно леса).

(2) Техника дифференцирования сложных функций на самом деле использует идеи функций нескольких переменных, включая понятие частной производной, но о них еще ничего не сказано, и выполняемые действия

противоречат тому, что о них говорится.

Если те же идеи использовать, ясно о них сказав, то и техника дифференцирования, и вывод формул для нее, поддаются существенной рационализации.

(3) Цель интегрирования и его идейное содержание лучше всего раскрываются при интерпретации интеграла, как площади. Интеграл же, как действие, обратное дифференцированию

– сугубо подчиненный, служебный вариант. Он нужен для отработки техники, и идет не от приложений, а изнутри самой математики.

На протяжении длительного этапа от студента скрыты смысл и назначение производимых им действий, да и самого термина "интеграл".

(4) Вопросы техники дифференцирования и интегрирования взаимосвязаны, и их изучение облегчается и требует меньше времени, если осуществляется с минимальным временным разрывом.

Поэтому изменим схему, и после производной для линейных функций введем:

•определенный интеграл, тоже для простейшего частного случая – постоянной величины (чтобы с самого начала понять связь обоих понятий, ни на минуту не отходя от практической нацеленности),

•понятие о функциях нескольких переменных и о частных производных,

•элементарное знакомство с методом структурных схем (будет рассмотрен отдельно),

•обобщение понятий производной и интеграла на случай нелинейных зависимостей,

•освоение техники дифференцирования и

интегрирования (лишь после всего предыдущего).

В отличие от производной, название “интеграл” вполне содержательно. В переводе – сумма.

Употребляется даже в переносном смысле. Но его связь с самим понятием пока не раскрываем, она станет ясна лишь с переходом к общему случаю.

Определенный интеграл в пределах от a до b определим, как площадь, заключенную между осью абсцисс, графиком функции и вертикальными отрезками с абсциссами a и b, соединяющими график с осью (a и b – нижний и верхний пределы интегрирования).

Для частного случая функции – положительной постоянной величины y=k>0, график – горизонтальная линия, расположенная на

расстоянии k выше оси абсцисс. Для нее определенный интеграл вычисляется элементарно, как площадь прямоугольника:

S k b a k b k a

(Временно будем пользоваться этим необщепринятым обозначением интеграла). Заметим, что определенный интеграл с постоянными пределами есть не функция, а число.

Обозначим теперь верхний предел через x и сделаем его переменным - будем непрерывно двигать его вправо:

S k x a k x k a k x C

Интеграл с переменным верхним пределом есть функция того же аргумента, ее график в нашем случае – прямая линия с угловым коэффициентом k, пересекающая ось абсцисс в точке x = a. Мы уже видели, что производная такой функции равна угловому коэффициенту прямой, а он равен k – ординате исходного горизонтального графика. А значит, интегрирование – не только вычисление площади, но и действие, обратное дифференцированию. Отсюда еще одно название для полученного графика: это первообразная – та функция, для которой интегрируемая функция есть производная. Подчеркну: чрезвычайно важно, что взаимная обратность операций дифференцирования и интегрирования здесь не постулируется, а выводится. Немотивированных определений нужно всячески избегать!

Далее. Исходная линия есть график производной не только для полученной прямой, но и для любой другой, параллельной ей. Эти другие прямые можно получать, меняя положение левой границы (подчеркну: не двигая непрерывно, как двигаем правую, а фиксируя ее по желанию в разных точках оси абсцисс). И сразу же видим, что входящая в формулу для S константа C произвольна – ей можно придавать разные значения. Поэтому семейство первообразных называют еще и неопределенным интегралом. Отсюда ясно и происхождение названия "определенный интеграл": оно понадобилось для

различения этих двух понятий.