4 Теоретичні предумови розрахунку дифузії нафти у морі

4.1 Вивід диференційного рівняння

Уявимо, що стався аварійний розлив нафти об’ємом W₀, і нафтова пляма у плані має вигляд кола з початковою концентрацією нафти С_О. Початок системи координат розташуємо в центрі плями незалежно від того, чи залишається пляма на місці чи переміщується під дією течії й вітру. Перенесення плями по акваторії відбувається за рахунок адвекції, а переміщення речовини в плямі – турбулентної дифузії.

Оцінка розповсюдження нафтової плями круглої форми на поверхні води за рахунок турбулентності водних мас найбільш просто може бути виконана методом, який оснований на рішенні диференційного рівняння турбулентної дифузії в полярних координатах.

Припустимо, що в середньому перенос нафти в плямі відбувається рівномірно во всі сторони від центру вздовж радіуса. Поперек радіуса результуючий перенос дорівнює нулю. У зв’язку з цим, концентрація нафти на поверхні води змінюється тільки вздовж радіусів, а на колах з центром у початку координат вона постійна.

Зроблене припущення правомочно, коли пульсації швидкості течії в потоці мають розподіл, близький до нормального, коефіцієнт турбулентної дифузії однаковий вздовж і поперек осередненого вектора швидкості течії, в межах плями швидкості течії в окремих точках незначно відрізняються одне від одного за величиною і напрямом.

Виділимо на плямі, яка розглядається, сектор із кутом α (рис.1). На відстані r від центра концентрацію нафти і її похідну по радіусу позначимо С і ∂С/∂r, а інтенсивність турбулентного переносу та його похідну – q та ∂q/∂r.

З двох сторін від концентрації, яка розглядається, проведемо дуги з радіусами r₁=(r-Δr/2) і r₂=(r+Δr/2) , довжина яких відповідно складе αr₁ і αr₂.

Поверхня, обмежена дугами й відрізками радіусів, буде мати площу ∆ω, яка дорівнює:

∆ω = αrΔr.

Кількість речовини, яка надійшла на контрольну площу через першу дугу за час δt , виражається величиною:

m₁ = q₁∆ω₁δt = q₁αr₁ δt = q₁α (r-Δr/2) δt. (1)

Рис. 1 Схема до виводу диференціального рівняння

За цей же час через другу дугу буде винесено

m₂ = q₂ α(r+Δr/2) δt. (2)

Зміна кількості речовини за рахунок її надходження через дугу 1 і виносу через дугу 2 дорівнює

∆m = m₁ – m₂ = αδt [q₁(r-Δr/2) - q₂(r+Δr/2)] =

= αδt [r(q₁ - q₂) - (q₁ + q₂)Δr/2]. (3)

Представим різницю і суму величин q₁ і q₂ у наступному вигляді:

q₁ - q₂ = - (∂q/∂r) Δr = - ∂/∂r[-D(∂С/∂r)]Δr = D(∂ ²С/∂r²)Δr,

(q₁ + q₂)/2 = q = - D(∂С/∂r).

Тоді формула (3) буде мати вигляд

∆m = αδt[rD(∂²С/∂r²)Δr - (-D(∂С/∂r))Δr] =

= αrΔrδt[D(∂ ²С/∂r²) + D(∂С/∂r)/r] =

∆ω δt[D(∂ ²С/∂r²) + D(∂С/∂r)/r]. (4)

Крім того, на контрольної поверхні буде трансформовано ∆m_Н = ∆ωСk_Hδt речовини (де k_H - коефіцієнт неконсервативності, 1/сек). З врахуванням цого загальне зниження кількості речовини (∆m_О) в об’ємі буде дорівнювати

∆m_О = ∆m + ∆m_Н = ∆ωδt[D(∂²С/∂r²) + D/r (∂С/∂r) + Сk_H]. (5)

Процеси виносу, надходження й трансформації речовини визначають зміни її кількості за часом на контрольної поверхні. Ці зміни можна подати у вигляді

∆m_О = ∆ωδt (∂С/∂t). (6)

Якщо ми праві частини рівнянь (5) і (6) розділимо на ∆ωt, то одержимо:

∂С/∂t = D(∂²С/∂r²) + D/r (∂С/∂r) + Сk_H . (7)

Виведемо тепер диференціальне рівняння для контрольного майданчика, який примикає до центра плями й обмежений дугою з радіусом Δr (рис. 1). Його площа дорівнює ∆ω = α (Δr/2)Δr.

Для ділянки, яка розглядається, характерні такі особливості: на ній спостерігається тільки винос речовини і в центрі ∂С₀/∂r=0 (оскільки в усі боки від центра значення концентрацій зменшуються). Середній градієнт концентрацій на ділянці позначимо ∂С/∂r, концентрацію речовини і градієнт концентрації на відстані Δr від центра - С₁ і ∂С₁/∂r, а інтенсивність турбулентного переносу - q₁.

Зміна кількості речовини за рахунок її надходження через грань 0 і виносу через грань 1 дорівнює

∆m = m_О – m₁ = 0 - α Δrδt[q₁] = - α Δrδt[-D(∂С₁/∂r)] =

= α Δrδt[D(∂/∂r(С_О + (∂С/∂r)Δr))] = α Δrδt[D((∂С_О/∂r) + (∂ ²С/∂r²)Δr)] =

= α Δrδt[D(0 + (∂ ²С/∂r²)Δr)] = α ΔrΔrδt[D(∂ ²С/∂r²)] =

= 2∆ωδt[D(∂ ²С/∂r²)]. (8)

Враховуючи неконсервативність речовини, загальне зниження кількості речовини (∆m_О) в об’ємі буде дорівнювати

∆m_О = ∆m + ∆m_Н = ∆ωδt[2D(∂²С/∂r²) + Сk_H]. (9)

Зміни кількості речовини за часом в контрольному об’ємі можна подати у вигляді

∆m_О = ∆ωδt (∂С/∂t). (10)

Тоді з врахуванням (9) і (10) граничну умову можна буде записати так:

∂С/∂t│_r→0 = 2D(∂²С/∂r²) + Сk_H . (11)

Таким чином,модель розповсюдження речовини при аварійних розливахразомзграничнимийпочатковимиумовамибуде записанаувигляді:

∂С/∂t = D(∂²С/∂r²) + D/r (∂С/∂r) + Сk_H , (12)

∂С/∂t│_r→0 = 2D(∂²С/∂r²) + Сk_H ,

С(t,r) = C_О , при t = 0 і 0< r ≤ r_О;

С(t,r) = C_Е , при t = 0 і r > r_О,

де С_О - концентрація речовини впочатковиймоментчасу у плямі;

r_О - радіус плями в початковий момент часу.

Крім того, повинна виконуватись ще одна умова:

r_t

2π ∫ C(t,r)rdr = m_O exp(k_Н t), (13)

0

де r_t - радіус плями в момент часу t;

C(t,r) – концентрація речовини в момент часу t в плямі на відстані r від центра;

m_О - маса речовини в плямі в початковий момент часу.

У рівнянні (13) правий і лівий вирази позначають масу речовини у плямі в момент часу t.