Учебное пособие по изучению модуля № 3 курса “Теор

22

Функцию P(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от N(f), считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

На рис. 5.3 показаны графики импульсов A(t) и P(t) при α = 0,4. Из графика P(t) видно, что его амплитудное значение равно 1. А это значит, что при передаче импульса aiА(t) отсчет на выходе дискретизатора равен ai. Из рис. 5.3 видно, что импульс P(t) принимает нулевые значения при t = ±kТ (k = 1, 2, 3,…), т.е. удовлетворяет условию отсчетности. Импульс A(t) не принимает нулевые значения при t = ±kТ (k = 1, 2, 3, …).

зе,

Результат получен, исходя из того, что интеграл равняется площади под кривой, описываемой подынтегральной функцией (рис. 5.2, а). Поскольку функция N(f) имеет кососимметричный скат, то эта площадь равняется площади прямоугольника высотой Т и основанием fн = 1/(2Т). Полученное значение позволяет легко определять энергию сигнала si (t) = ai A(t) :

23

Для дальнейшего анализа необходимо также значение средней мощности шума на выходе СФ, АЧХ которого описывается зависимостью N ( f ) , при ус-

ловии, что спектральная плотность мощности шума на входе СФ N0/2

соответствует свойству согласованного фильтра (4.9).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте назначение формирующего и согласованного фильт-

ров.

2.Сформулируйте назначение тактовой синхронизации.

3.Как определяется СКО шума на выходе СФ?

6. КОРРЕЛЯТОР

При анализе свойств согласованных фильтров была установлена связь между выходным сигналом y(t) и входным сигналом z(t) – соотношение (4.16). Примем с = 1, t0 = Ts и при этих условиях из соотношения (4.16) определим y(Ts). При этом учтем, что сигнал s(t) существует на интервале (0, Ts):

Из последнего соотношения вытекает, что можно выполнить оптимальную обработку сигнала с помехой z(t) = s(t) + n(t) схемой, работа которой описывается этим соотношением. Устройство, работа которого описывается соотношением (6.1), называется коррелятором, он рассматривался в разделе 3.

На рис. 3.2 приведена схема коррелятора. Она содержит генератор сигнала s(t) – точной копии обрабатываемого сигнала, перемножителя и интегратора со сбросом – в момент окончания сигнала s(t) дискретизатором берется отсчет, а интегратор приводится в нулевое состояние, чтобы быть готовым к обработке следующего сигнала.

Из описания схемы понятно, что остались не показанными цепи синхронизации генератора сигнала s(t), цепи управления дискретизатором и сбросом интегратора.

24

Эквивалентность обработки сигнала с помехой согласованным фильтром и коррелятором заключается в том, что в обоих случаях

Однако процессы, которые имеют место в схемах согласованного фильтра и коррелятора, разные. Проиллюстрируем это на примере обработки радиоимпульса s(t) (рис. 6.1, а). На выходе согласованного фильтра наблюдается отклик в виде корреляционной функции сигнала s(t) (рис. 6.1, б). На выходе фильтра берется отсчет ys(Тs). На рис. 6.1, в показан сигнал на выходе интегратора со сбросом коррелятора ys(t) и отсчетное значение на выходе коррелятора ys(Тs). Несмотря на то, что процессы разные, на выходах обеих схем отношения сигнал/шум одинаковые

где σ – СКО отсчета y(t).

Соотношения (6.2) и (6.3) верные для коррелятора, если время обработки сигнала коррелятором равно длительности сигнала. Иная ситуация имеет ме-

сто при обработке импульсов с существенно ограниченным спектром, например, импульсов Найквиста. В этом случае длительность импульса может принимать значение Ts = (8...20)Т, где Т – длительность тактового интервала. При демодуляции сигналов цифровой модуляции время обработки коррелятором не может быть больше Т.

На рис. 6.2 показан импульс A(t). Заштрихованная площадь под кривой A(t) на интервале (– Т/2, Т/2) показывает результат интегрирования коррелятором – при обработке импульса не используются значения импульса на интерва-

лах (– ∞, – Т/2) и (Т/2, ∞). Поэтому отношение сигнал/шум на выходе коррелятора меньше, чем при обработке согласованным фильтром. Время обработки согласованным фильтром равняется длительности его импульсной реакции, а

она равна длительности сигнала Ts, и все значения сигнала используются при обработке. По этой причине коррелятор применялся в демодуляторах сигналов цифровой модуляции, которые использовали слабо фильтрованные П-импульсы, когда длительность сигнала практически равнялась длительности тактового интервала. При использовании импульсов с существенно ограниченным спектром применяются согласованные фильтры.

Контрольные вопросы

1.Изобразите схему коррелятора и объясните его работу.

2.В чем заключаются эквивалентность и отличие обработки сигнала с помехой согласованным фильтром и коррелятором?

Рисунок 6.1 – Сигналы: а – на входе устройств обработки, б – на выходе согласованного фильтра; в – на выходе интегратора коррелятора

7. СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

Есть сумма сигнала и помехи z(t) = s(t) + n(t). Сигнал s(t) детерминированный, помеха n(t) характеризуется спектральной плотностью мощности Gn(w), – ¥ < w < ¥, которая не является постоянной величиной. Необходимо найти передаточную функцию фильтра H(jw), согласованного с сигналом s(t), т.е. фильтр, который обеспечивает максимальное отношение сигнал/помеха в отсчетный момент.

Из разд. 4 известна передаточная функция согласованного фильтра при белом шуме:

Воспользуемся этим результатом. Пропустим сигнал z(t) через обеляющий фильтр с передаточной функцией H1(jw). Найдем АЧХ обеляющего фильтра, который преобразует помеху с неравномерным спектром в белый шум:

где N0/2 – удельная мощность белого шума.

26

Пусть S(jw) – спектральная плотность сигнала s(t). После обеляющего фильтра спектральная плотность полезного сигнала s1(t) определяется S(jw)H1(jw). На основе соотношения (7.1) запишем передаточную функцию фильтра, согласованного с сигналом s1(t)

Каскадно соединенные обеляющий фильтр и фильтр, согласованный с сигналом s1(t), образуют согласованный фильтр при небелом шуме с передаточной функцией

После подстановки выражения для H(jw) 2 с соотношение (7.2) получим (множитель N0/2 отнесем к произвольному коэффициенту с):

Из полученного выражения следует, что значение АЧХ СФ при небелом шуме в сравнении со значениями АЧХ СФ при белом шуме меньше на тех частотах, на которых удельная мощность помехи больше. Требования к ФЧХ СФ при небелом шуме такие же, как и требования к ФЧХ СФ при белом шуме.

Отметим, что реализация СФ при небелом шуме не требует использования обеляющего фильтра. Обеляющий фильтр необходим для выполнения вы-

кладок (7.2) – (7.5).

Контрольные вопросы

1.Что такое обеляющий фильтр?

2.Запишите и объясните формулу АЧХ обеляющего фильтра.

8.СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ РАДИОИМПУЛЬСОВ

В случае полосовых сигналов цифровой модуляции (АФМ-М, ФМ-М, КАМ-M и др.) канальные символы строятся на основе импульса-переносчика

Сигнал s(t) является полосовым. Его спектр сосредоточен вокруг частоты f0. Необходимо выполнить оптимальную фильтрацию сигнала s(t), поступающего вместе с помехой n(t), и взять отсчет. Считаем, что помеха – белый шум, его спектр сосредоточен в полосе пропускания канала связи.

Первый способ выполнения СФ – использовать полосовой фильтр, АЧХ которого описывается соотношением (4.13). Инженерная практика показала, что полосовые фильтры имеют невысокую точность реализации.

Второй способ состоит в следующем: сначала выполняется когерентное

(синхронное) детектирование суммы сигнала и помехи z(t) = s(t) + n(t), а затем – фильтрация импульса A(t) с помехой низкочастотным согласованным фильт-

27

ром (рис. 8.1). Схема восстановления несущего колебания (ВН) вырабатывает колебание 2 cos 2πf0t, необходимое для работы детектора.

Для анализа прохождения шума через синхронный детектор полосовой шум представим квадратурными составляющими

где 2 Nc(t) – амплитуда косинусной составляющей помехи; 2 Ns(t) – амплитуда синусной составляющей помехи.

Первое слагаемое в выражении (8.3) – низкочастотная составляющая, а второе слагаемое – сигнал балансной модуляции с частотой несущего колебания 2f0. В системах передачи частота несущего колебания существенно больше максимальной частоты спектра сигнала А(t), и спектры двух слагаемых в (8.3) не перекрываются. Для получения сигнала А(t) после перемножителя необходимо включить ФНЧ, пропускающий А(t) и ослабляющий А(t) cos 2π2f0t. Т.е., требуется фильтр с частотой среза большей, чем максимальная частота в спектре сигнала А(t). Роль этого фильтра будет выполнять СФ, выполняющий оптимальную фильтрацию сигнала А(t). На выходе СФ за счет импульса А(t) получим импульс P(t) (раздел 5).

Обсудим прохождение шума через синхронный детектор и согласованный фильтр. Шум n(t) белый в полосе пропускания канала связи Fк со средней частотой f0. Средняя мощность шума определяется Pn = N0Fк. Эта мощность делится поровну между косинусной и синусной составляющими. Так, мощность косинусной составляющей

Шум Nc(t) является белым в полосе частот (0, Fк/2). Его удельная мощность равна

28

Из анализа преобразований сигнала и помехи синхронным детектором видно, что на входе фильтра, согласованного с А(t), действует сигнал А(t) и белый шум с удельной мощностью N0. Эта фильтрация рассмотрена в разделе 5. СФ обеспечивает отношение мгновенной мощности сигнала к средней мощности шума

т.е. является фильтром, согласованным с полосовым сигналом s(t).

Именно такая схема согласованной фильтрации полосовых сигналов используется в демодуляторах двумерных сигналов цифровой модуляции для оптимальной фильтрации сигналов. При использовании двух таких схем с опорными колебаниями cos 2πf0t и sin 2πf0t происходит разделение косинусного и синусного радиоимпульсов и их следующая раздельная обработка.

Контрольные вопросы

1.Опишите два способа согласованной фильтрации радиоимпульсов.

2.Объясните назначение схемы восстановления несущего колебания.

9. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДЕМОДУЛЯТОРЫ ОДНОМЕРНЫХ ПОЛОСОВЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим одномерные сигналы. Это сигналы АМ-M и ФМ-2. Канальные символы описываются

тральными характеристиками, максимальное значение и энергия которого равны 1;

аі – коэффициенты, отображающие n = log2M переданных бит согласно модуляционному коду.

Выше было найдено, что основными элементами оптимального демодулятора являются: согласованный фильтр, дискретизатор и схема решения. Выше было сказано, что оптимальную фильтрацию радиоимпульсов следует выполнять схемой, которая содержит синхронный детектор и низкочастотный