Контрольные вопросы

1. Какие критерии помехоустойчивости используются в аналоговых системах передачи?

2. Из каких блоков состоит схема оптимального демодулятора сигналов аналоговой модуляции?

22. Оптимальная линейная фильтрация непрерывных сигналов

Рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации стационарных процессов – фильтр Колмогорова-Винера или оптимальный линейный фильтр (ОЛФ).

Пусть на входе линейного фильтра с передаточной функцией H(j) действует сумма полезного сигнала s(t) и помехи n(t). Отклик фильтра на это действие – восстановленный полезный сигнал (оценка сигналаs(t)). Будем считать, что s(t) и n(t) – стационарные взаимнонекоррелированные процессы с известными спектральными плотностями мощности (СПМ) G_s(f) и G_n(f). Нужно найти такую функцию H(j), которая обеспечивает минимум среднего квадрата ошибки восстановления сигнала

. (22.1)

Иначе говоря, критерием оптимальности фильтра является минимум среднего квадрата ошибки восстановления сигнала. В такой постановке задача была решена А.Н. Колмогоровым (1939 г.) для дискретных случайных последовательностей и Н. Винером (1941 г.) для непрерывных процессов. Поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называется фильтром Колмогорова-Винера.

Действующие на входе фильтра сигнал s(t) и помеха n(t) проходят через фильтр независимо и создают на выходе фильтра соответственно фильтрованные сигнал s_вых(t) и помеху n_вых(t). С учетом этого ошибка восстановления запишется

. (22.2)

Слагаемое s(t) отражает составляющую ошибки, обусловленную линейными искажениями полезного сигнала фильтром. Средний квадрат ошибки запишется

. (22.3)

Величина линейных искажений полезного сигнала фильтром зависит от степени отличия АЧХ фильтра от постоянной величины и степени отличия ФЧХ от линейной зависимости. Средний квадрат шума на выходе фильтразависит только от АЧХ фильтра. Для того чтобы линейные искажения полезного сигнала были минимальными, ФЧХ фильтра должна быть линейной

() = –t₀, (22.4)

где t₀ – задержка сигнала в фильтре. Ясно, что с учетом задержки соотношение (22.1) имеет вид . Это уточнение не влияет на критерий оптимальности, поскольку в системах связи и вещания ожидаемая задержка сигнала в фильтре несущественная.

Перейдем к определению АЧХ фильтра. Для этого определим спектральные плотности мощностей левой и правой частей соотношения (22.2)

. (22.5)

Выразим СПМ помехи на выходе фильтра через СПМ помехи n(t) и искомую АЧХ фильтра:

. (22.6)

По определению СГП ергодичного процесса

, (22.7)

где S_s() – амплитудный спектр ошибки за счет линейных искажений s(t);

Т – длительность реализации s(t).

Поскольку амплитудный спектр сигнала s_вых(t) определяется как S()H(), где S() – амплитудный спектр сигнала s(t), то

. (22.8)

Переходя от амплитудных спектров к СПМ, получим

. (22.9)

После подстановки соотношений (22.6) и (22.9) в (22.5) получим

. (22.10)

Средний квадрат ошибки восстановления (средняя мощность) вычисляется

. (22.11)

Поскольку функция G_()  0 на всех частотах, то, обеспечив min G_() на всех частотах, достигнем минимума величины . ИскомуюАЧХ H() определим из условия экстремума функции G_():

; (22.12)

. (22.13)

После решения уравнения (22.13) получим выражение для АЧХ фильтра

. (22.14)

На рис. 22.1 иллюстрируется АЧХ ОЛФ, определенная соотношением (22.14).

Из рис. 22.1 видно особенности АЧХ ОЛФ:

• на частотах, где G_n(f) = 0, значение АЧХ H(f) = 1 – в этих областях частот фильтр не должен вносить искажений;

• на частотах, где G_s(f) = 0, значение АЧХ H(f) = 0 – в этих областях частот фильтр должен полностью ослаблять составляющие помехи;

• на частотах, на которых G_s(f) = G_n(f), АЧХ H(f) = 0,5;

• на других частотах значения АЧХ определяются вычислениями по формуле (22.14).

Подставим выражение (22.14) в соотношение (22.10) для определения СПМ ошибки:

(22.15)

При подстановке соотношения (22.15) в выражение (22.11) можно вычислить средний квадрат ошибки восстановления сигнала .

Из (22.15) видно, что ошибка равна нулю только в том случае, когдаG_s(f)G_n(f) = 0, т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются (хотя бы один с сомножителей равен нулю).

Перепишем соотношение (22.14) в виде

. (22.16)

Из последнего соотношения видно, что коэффициент передачи оптимального фильтра на каждой из частот тем меньше, чем больше отношение G_n(f)/G_s(f) на этой частоте.

Следует отметить, что оптимальные линейные фильтры, обеспечивающие минимум ошибки , существенным образомотличаются от согласованных фильтров, рассмотренных ранее. Если основное назначение рассмотренных здесь фильтров состоит в наилучшем воспроизведении формы сигнала, то задача согласованных фильтров состоит в формировании максимального отношения сигнал/шум в момент отсчета.

При использовании ОЛФ в аналоговых системах связи и вещания выявляется такая особенность. Имеет место высокое отношение спектральных плотностей сигнала и шума: G_s(f)/G_n(f) >> 1. Выражение для АЧХ ОЛФ (22.14) в случае полосовых сигналов переходит в следующее

(22.17)

где f_min и f_max – граничные частоты спектра сигнала. В случае НЧ сигналов

(22.18)

где F_max – максимальная частота спектра сигнала.

Таким образом, оптимальные линейные фильтры в системах связи и вещания имеют П-образную АЧХ.